6.4.3.1余弦定理课件-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

6.4 平面向量的应用 6.4.3.1 余弦定理 想要解决这一实际问题可以将其转化为怎样的数学问题呢? A B 已知一个三角形两边及其夹角，求出的第三边是唯一确定的吗？ 俄乌冲突再起变数，当地时间2024年3月22日晚间，俄罗斯首都莫斯科近郊克拉斯诺戈尔斯克市“克罗库斯城”音乐厅发生了一起严重的恐怖袭击事件，这使俄乌冲突进一步升级.俄罗斯派出图-95轰炸机对乌克兰首都基辅进行轰炸. 如图，一架轰炸机从 A 地飞往 B 地，两地相距700km.飞行员为了避开乌克兰防空部队，飞机起飞后，先沿与原方向成30°的方向飞行了500km，再改变方向，沿直线飞行抵达终点．这次飞行路程比原来的700km远了多少呢？ 新课导入 问题：在中，三个角所对的边分别是,怎样用和表示？ b c=？ a ①把几何元素用向量表示： 设，，，那么 ②向量如何转化成数量？等式两边同时平方： ③向量式化成几何式： 新知探究 于是，我们就得到了三角形中边角关系的一个重要定理—余弦定理. 新知探究 同理可得 余弦定理：三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与他们夹角的余弦的积的两倍.即 b c a 思考：你能用其它方法证明余弦定理吗？ 新知探究 法2：解析法（建系法） 新知探究 问题：在中，三个角所对的边分别是,怎样用和表示？ 还有其他的方法证明上述关系式的成立吗？ 法3：几何法 （作高法） 新知探究 思考：利用余弦定理可以解决三角形的哪类问题？ 已知两边及其夹角求第三边（SAS型） 新知探究 余弦定理指出了三角形的三条边与其中的一个角之间的关系.应用余弦定理，我们可以解决已知三角形的三边确定三角形的角的问题.怎么确定呢？ 新知探究 由余弦定理，可以得到如下结论 （1）轮换对称，简洁优美;（2）每个等式中有同一个三角形中的四个元素，知三求一. 已知三边求任意一个角（SSS型） 从余弦定理及其推论可以看出，三角函数把几何中关于三角形的定性结论变成了可定量计算的公式. 思考：利用余弦定理的推论可以解决三角形的哪类问题？ 新知探究 （方程思想） 新知探究 加深理解 (1)适用范围：任意三角形. (2)结构特征：“平方”“夹角”“余弦”. (3)简单应用：每个等式都涉及三边和一角四个元素，在等式中可以做到“知三求一”. 余弦定理及其推论 思考：余弦定理指出了三角形的三边与其中的一个角之间的关系.特别的，当定理中的角为时，你能得到什么？ 当时，，则 . 勾股定理 由此可见，余弦定理是勾股定理的推广，而勾股定理是余弦定理的特例. 一般地，三角形的三个角和它们的对边，，叫做三角形的元素.已知三角形中的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形. 新知探究 例1 在中，已知，，，解这个三角形(角度精确到，边长精确到). 解：由余弦定理，得： ， 所以 由余弦定理的推论，得： 利用计算器，可得 所以 典例剖析 例2 在中，，，锐角满足，求(精确到). 解：因为，且为锐角， 所以. 由余弦定理，得：， 所以 进而 利用计算器，可得 典例剖析 例3 在△ABC中，已知= ,b=2,c= , 解三角形(依次求解A、B、C). 解：由余弦定理得 注意此时不用再用余弦定理求然后在求C，只要用三角形内角和等于，省时省力 典例剖析 例4 在△ABC中，若cos B＋cos C＝b＋c，试判断该三角形的形状. 解：由cos B＋cos C＝b＋c并结合余弦定理的推论， 整理，得(b＋c)(2－b2－c2)＝0. 因为b＋c≠0，所以2＝b2＋c2， 故△ABC是直角三角形. 典例剖析 变式训练 变式2 在 中，内角 , , 所对的边分别为 , , ,且 ，则此三角形中的最大角的大小为 . 变式1 解：由余弦定理，得 变式训练 解： 变式2 在 中，内角 , , 所对的边分别为 , , ,且 ，则此三角形中的最大角的大小为 . 变式训练 余弦定理 推论 向量法 几何法 坐标法 勾股定理 三角形边角之间的定量关系 应用 解三角形 数学抽象核心素养 、数学建模核心素养 逻辑推理核心素养 、数学运算核心素养 一个定理 两类问题 三个方法 四种核心素养 课堂小结 课堂巩固 A　 B　 课堂巩固 解析：根据题意，由余弦定理可得 因为a>b>c，所以A>B>C，即A为最大角. C　 课堂巩固 4.在中，，AC＝b，是方程的两个根，且 （1）求角的度数； （2）求的长度. 解：(1