第12讲 正态分布（春季讲义）-2023-2024学年高二数学春季讲义（人教A版2019）

第12讲 正态分布 【人教A版2019】 ·模块一 正态分布 ·模块二 课后作业 模块一 正态分布 1．连续型随机变量 随机变量的取值充满某个区间甚至整个数轴，但取一点的概率为0，称这类随机变量为连续型随机变量. 2．正态分布 (1)正态曲线 函数f(x)=，x∈R.其中∈R，>0为参数.我们称f(x)为正态密度函数，称它的图象为正 态密度曲线，简称正态曲线. (2)正态分布 若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为XN(,).特别地， 当=0，=1时，称随机变量X服从标准正态分布. (3)正态分布的均值和方差 若XN(,)，则E(X)=，D(X)=. 3．正态曲线的特点 (1)曲线位于x轴上方，与x轴不相交； (2)曲线是单峰的，它关于直线x=对称； (3)曲线在x=处达到峰值； (4)当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴； (5)对任意的>0，曲线与x轴围成的面积总为1； (6)在参数取固定值时，正态曲线的位置由确定，且随着的变化而沿x轴平移，如图甲所示； (7)当取定值时，正态曲线的形状由确定，当较小时，峰值高，曲线“瘦高”，表示随机变量X的分 布比较集中；当较大时，峰值低，曲线“矮胖”，表示随机变量X的分布比较分散，如图乙所示. 4．3原则 (1)正态总体在三个特殊区间内取值的概率 P(-X+)0.6827； P(-2X+2)0.9545； P(-3X+3)0.9973. (2)3原则 在实际应用中，通常认为服从正态分布N(,)的随机变量X只取[-3，+3]中的值，这在统计学 中称为3原则. 5．解决正态分布问题的三个关键点： (1)对称轴x=μ； (2)标准差； (3)分布区间：利用对称性可求指定范围内的概率值；由μ,，分布区间的特征进行转化，使分布区间 转化为3特殊区间，从而求出所求概率.注意只有在标准正态分布下对称轴才为x=0. 【考点1 正态密度函数】 【例1.1】（23-24高二下·江苏·课后作业）函数(其中)的图象可能为（   ） A．   B．   C．    D．   【例1.2】（22-23高二下·湖北武汉·期末）设随机变量，则X的密度函数为（    ） A． B． C． D． 【变式1.1】（23-24高二·全国·课时练习）下列是关于正态曲线性质的说法： ①曲线关于直线对称，且恒位于轴上方； ②曲线关于直线对称，且仅当时才位于轴上方； ③曲线对应的正态密度函数是一个偶函数，因此曲线关于轴对称； ④曲线在处位于最高点，由这一点向左、右两边延伸时，曲线逐渐降低； ⑤曲线的位置由确定，曲线的形状由确定. 其中说法正确的是（    ） A．①④⑤ B．②④⑤ C．③④⑤ D．①⑤ 【变式1.2】（23-24高二下·辽宁·阶段练习）某市组织了一次高二调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布，其密度函数， x∈(－∞，＋∞)，则下列命题不正确的是 A．该市这次考试的数学平均成绩为80分 B．分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同 C．分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同 D．该市这次考试的数学成绩标准差为10 【考点2 正态曲线的特点及性质】 【例2.1】（23-24高三上·广东佛山·阶段练习）李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到，假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布，．X和Y的分布密度曲线如图所示．则下列结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【例2.2】（22-23高二下·江苏常州·期中）如图是三个正态分布，，的密度曲线，则三个随机变量X，Y，Z对应曲线的序号分别依次为（    ）. A．①②③ B．③②① C．②③① D．①③② 【变式2.1】（22-23高二下·浙江温州·期中）设，，这两个正态分布密度曲线如图所示，下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2.2】（2023·福建宁德·模拟预测）某地生产红茶已有多年，选用本地两个不同品种的茶青生产红茶.根据其种植经验，在正常环境下，甲､乙两个品种的茶青每500克的红茶产量（单位：克）分别为，且，其密度曲线如图所示，则以下结论错误的是（    ） A．的数据较更集中 B． C．甲种茶青每500克的红茶产量超过的概率大于 D． 【考点3 利用正态曲线的对称性求概率】 【例3.1】（23-24高二上·广西北海·期末）已知随机变量，且，则（    ） A．0.5 B．1 C．1.5 D．2 【例3.2】（23-24高二上·河南南阳·期末）某班有45名学生，最近一次的市联考数学成绩服从正态分布，若的学生人为18，则（    ） A．0.2 B．0.25 C．0.3 D．0.35 【