2.4 平面向量基本定理及坐标表示6种常见考法归类-【帮课堂】2023-2024学年高一数学同步学与练（北师大版2019必修第二册）

2.4 平面向量基本定理及坐标表示6种常见考法归类 课程标准 学习目标 (1)理解平面向量基本定理及其意义．能推导平面向量基本定理和运用平面向量基本定理解决某些数学问题． (2)借助平面直角坐标系，掌握平面向量的正交分解及坐标表示． (3)会用坐标表示平面向量的加、减运算与数乘运算． (4)能用坐标表示平面向量的共线条件． 1.掌握平面向量基本定理，会用基底表示平面向量； 2.能够灵活应用向量定理解决平面几何问题. 3.掌握平面向量的坐标表示，理解点坐标与向量坐标的区别与联系. 4.平面上向量的和、差及数乘运算，会用坐标表示中点坐标. 5.掌握向量平行的坐标表示. 知识点01平面向量基本定理 1．定理：如果e1，e2(如图①所示)是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，存在唯一一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2(如图②所示)，其中不共线的向量e1，e2叫作表示这一平面内所有向量的一组基，记为{e1，e2}． 2．正交分解：若基中的两个向量互相垂直，则称这组基为正交基，在正交基下向量的线性表示称为正交分解．若基中的两个向量是互相垂直的单位向量，则称这组基为标准正交基． 【即学即练1】下列关于基底的说法正确的序号是(　　) ①平面内不共线的任意两个向量都可作为一组基底； ②基底中的向量可以是零向量； ③平面内的基底一旦确定，该平面内的向量关于基底的线性分解形式也是唯一确定的． A．①②　　　　　　　　 B．①③ C．②③ D．①②③ 【即学即练2】若是平面内向量的一组基，则下面的向量中不能作为一组基的是（ ） A．和 B．和 C．和 D．和 【即学即练3】如果e1，e2是平面内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是(　　) A．e1与e1＋e2 B．e1－2e2与e1＋2e2 C．e1＋e2与e1－e2 D．e1－2e2与－e1＋2e2 【即学即练4】在△ABC中，＝c，＝b，若点D满足＝2，以b与c作为基底，则＝(　　) A.b＋c B.c－b C.b－c D.b＋c 知识点02平面向量的坐标表示 在平面直角坐标系中，分别取与x轴，y轴方向相同的两个单位向量i，j作为标准正交基．对于坐标平面内的任意向量a，以坐标原点O为起点作＝a(通常称为位置向量)．由平面向量基本定理可知，有且仅有一对实数x，y，使＝xi＋yj.因此a＝xi＋yj，把(x，y)称为向量a在标准正交基{i，j}下的坐标，记作a＝(x，y)． 注：1.对平面向量坐标的几点认识 (1)设 ＝x＋y(O为坐标原点)，则向量 的坐标(x，y) 就是终点A的坐标；反过来，终点A的坐标就是向量的坐标(x，y).因此，在直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一个有序实数对唯一表示，即以原点为起点的向量与实数对是一一对应的． (2)两向量相等的等价条件是它们对应的坐标相等． (3)要把点的坐标与向量的坐标区别开来，相等的向量的坐标是相同的，但起点和终点的坐标却可以不同． 2．符号(x，y)的意义 符号(x，y)在直角坐标系中有两重意义，它既可以表示一个固定的点，又可以表示一个向量，为了加以区分，在叙述中，就常说点(x，y)或向量(x，y)． 【即学即练5】下列说法正确的有(　　) ①向量的坐标即此向量终点的坐标； ②位置不同的向量其坐标可能相同； ③一个向量的坐标等于它的终点坐标减去它的起点坐标； ④相等向量的坐标一定相同． A．1个　　B．2个 C．3个 D．4个 【即学即练6】如图，向量a，b，c的坐标分别是________，________，________. 【即学即练7】已知，若的终点坐标为（3，-6），则的起点坐标为（ ） A．（-4，-8） B．（-4，8） C．（4，-8） D．（4，8） 【即学即练8】已知，，若，则点的坐标为（ ） A．（3，2） B．（3，-1） C．（7，0） D．（1，0） 知识点03平面向量运算的坐标表示 文字叙述 符号表示 加法 两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2) 减法 两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a－b＝(x1－x2，y1－y2) 数乘向量 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标 若a＝(x，y)，λ∈R，则λa＝(λx，λy) 向量的坐标 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标 若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1) 注：(