奥数新起点（6）第25讲 反过来考虑（讲义）-2023-2024学年六年级下册数学人教版

第25讲 反过来考虑   反面考虑是处理较复杂的数学问题中一种常用的数学思想，有些题目从正面考虑很难，但是“横看成岭侧成峰”，有时候换一个角度，就会有一种“柳暗花明又一村”的感觉。 【模块一：知识点拨】 我们遇到一些数学问题，从条件出发正面人手难以解决时，可以转向反面思考。不直接去证明它的结论，而是去证明它的反面是不正确的，从而证明这个结论是正确的。这种反面思考的方法就叫做反面法。 反面法的特征是：欲得出结论A，假定A的否定“非A”成立，在此假 设下推出矛盾，从而说明“非A”不成立，因此结论A成立。常用于证明不 存在性的问题。 一般情况下，反面只有一种情况，但有时问题的反面有多种情况时， 要对各种情况一一列举，并一一否定，才能得出正确答案。 用反面证明题一般分为反设、归谬、结论三个步骤。 【模块二：精讲精练】 【例1】有甲、乙两桶油，从甲桶中倒出给乙桶后，又从乙桶中倒出给甲桶，这时两桶油各有24千克，原来甲、乙两个桶中各有多少千克油？ 【解析】从最后的结果出发倒推，甲、乙两桶共有（24×2）＝48千克，当乙桶没有倒出给甲桶时，乙桶内有油24÷（1－）＝30千克，这时甲桶内只有48－30＝18千克，而甲桶已倒出给了乙桶，可见甲桶原有的油为18÷（1－）＝27千克，乙桶原有的油为48－27＝21千克。 甲：【24×2－24÷（1－）】÷（1－）＝27（千克） 乙：24×2－27＝21（千克） 答：甲桶原有油27千克，乙桶原有油21千克。 【例2】甲、乙、丙三个仓库面粉袋数的比是6∶9∶5，如果从乙仓库拿出400袋平均分给甲、丙两仓库，则甲、乙两个仓库的数量相等。这三个仓库共存面粉多少袋？ 【答案】4000袋 【解析】 【分析】根据题意分析可知，乙原来比甲多600袋面粉，原来多的份数是3份，那么每份的数量是600÷3＝200（袋）。原来一共有6＋9＋5＝20（份），那么可利用乘法，求出这三个仓库共存面粉多少袋。 【详解】（400＋400÷2）÷（9－6） ＝600÷3 ＝200（袋） 200×（6＋9＋5） ＝200×20 ＝4000（袋） 答：这三个仓库共存面粉4000袋。 【点睛】本题考查了比的应用，解答本题的关键是抓住题目条件，求出原来乙仓库比甲仓库多的袋数和多的份数，从而利用除法求出每份的袋数。 【课堂精炼】 1. 甲、乙两个仓库各有粮食若干吨，从甲仓库运出到乙仓库后，又从乙仓库运出到甲仓库，这时甲、乙两仓库的粮食储量相等。原来甲仓库的粮食是乙仓库的几分之几？ 【答案】 【解析】 【分析】设后来两个仓库的粮食质量都是12吨，先把运出前乙仓的质量看成单位“1”，后来剩下的质量是它的，它对应的数量是12吨，由此用除法求出运出前乙仓的质量，再乘上，就是乙仓运给甲仓多少吨；然后用12吨减去乙仓运给甲仓的吨数，求出甲仓运出后剩下的吨数；再把甲仓原来的吨数看成单位“1”，它的就是甲仓运出后的吨数，再根据分数除法的意义求出甲仓原来的吨数；粮食的总量没变，两仓的总质量就是12×2吨，再减去甲仓原来的质量，即可求出乙仓原来的质量，然后用甲仓原来的质量除以乙仓原来的质量即可。 【详解】假设两个仓库后来的质量都是12吨。 ＝ ＝16（吨） （吨） 甲仓库原来有： ＝ ＝（吨） 乙仓库原来有： ＝ ＝（吨） 原来甲仓库的粮食是乙仓库的粮食的： 答：原来甲仓库的粮食是乙仓库的。 【点睛】解决本题设出后来的质量，根据分数除法的意义，运用逆推法求出原来甲乙两仓各有多少吨，再根据求一个数是另一个数几分之几的方法求解。 2. 甲、乙两个仓库各有粮食若干吨，从甲仓库运出到乙仓库后，又从乙仓库运出到甲仓库，这时甲、乙两仓库的粮食储量相等。原来甲仓库的粮食是乙仓库的几分之几？ 【答案】 【解析】 【分析】设后来两个仓库的粮食质量都是6吨，先把运出前乙仓的质量看成单位“1”，后来剩下的质量是它的，它对应的数量是6吨，由此用除法求出运出前乙仓的质量，再乘上，就是乙仓运给甲仓多少吨；然后用6吨减去乙仓运给甲仓的吨数，求出甲仓运出后剩下的吨数；再把甲仓原来的吨数看成单位“1”，它的就是甲仓运出后的吨数，再根据分数除法的意义求出甲仓原来的吨数；粮食的总量没变，两仓的总质量就是6×2吨，再减去甲仓原来的质量，即可求出乙仓原来的质量，然后用甲仓原来的质量除以乙仓原来的质量即可。 【详解】假设两个仓库后来的质量都是6吨。 ＝ ＝9（吨） （吨） 甲仓库原来有： ＝ ＝（吨） 乙仓库原来有： ＝ ＝（吨） 原来甲仓库的粮食是乙仓库的粮食的： 答：原来甲仓库的粮食是乙仓库的。 【点睛】解决本题设出后来的质量，根据分数除法的意义，运用逆推法求出原来甲乙两仓各有多少吨，再根据求一个数是另一个数几分之几的方法求解。 3. 甲、乙、丙三个盒子各有若