奥数新起点（6）第23讲 最大与最小（讲义）-2023-2024学年六年级下册数学人教版

第23讲 最大与最小 在日常生活和生产实践中，人们总是在不断追求优质、高效,希望“少花钱,多办事”。人们所碰到的各种优化问题、高效低耗问题，最终都表现为数学上的极值问题(小学阶段通常称为最大最小问题)。最大最小问题涉及的知识多,灵活性强,解题时要善于综合运用所学的各种知识。 在这一讲,我们讨论的最大与最小问题包括两类: (一)需要考虑极端情况的问题; (二)几何图形中的最大与最小问题 【模块一：知识点拨】 数学中的最大值、最小值问题涉及的知识面很广，题目也较复杂．其中有一小部分题，可以利用一定的解题模式来求解，而其余大部分题没有固定的解题模式，要根据题中给出的条件去分析、判断、推理，最后才能得出正确的答案． 解"最大与最小"问题，实际是一种解决实际问题的尝试和锻炼，也是我们 适应未来生活的需要． 【模块二：精讲精练】 【例1】把19分成若干个自然数的和，如何分才能使它们的乘积最大?乘积最大是多少? 解 19=3x6+1，应当把19分成3+3+3+3+3+2+2。最大乘积为35x22=972。 【思路点拨】我们要化大为小,找出规律。从 2,3,4,…逐个进行尝试:2=1+1,最大积为1x1=1。3=1+2,最大积为2x1=2。4=2+2,最大积为2x2=4。5=2+3,最大积为2x3=6。6=3+3,最大积为3x3=9。7=2+2+3,最大积为2x2x3=12，8=3+3+2,最大积为2x3x3=18。9=3+3+3,最大积为3x3x3=27.....从上面这些试验结果中,我们不难发现:把自然数n分成若干个数的和，当n=3m时,最大的积为 3m;当n=3m+1 时,最大积为3m-1x22;当n=3m+2 时,最大积为 3mx2 【例2】 【课堂精炼】 1. 将14分拆成若干个自然数的和,如何分拆,可以使这些自然数的乘积最大? [答案] 分拆为14=3+3+3+3+2 提示:对于自然数来讲,数的分拆应该分成3和2的和,乘积才可能是最大。由于2+2+2和3+3的和虽然都是6,但是3x3的乘积大于2x2x2的乘积，所以分拆成的加数中最多只能是两个2,即2的个数不能超过3个。这样把14分拆成:14=3+3+3+3+2,3x3x3x3x2=162,这样乘积最大。 2. 已知长方体的长、宽、高均为整厘米数,相邻两个面的面积是180平方厘米和84平方厘米。求表面积最小的长方体的体积。 解 (180,84)=12, 180÷12=15,84÷12=7 长方体的体积 V=abc =15x7x12=1260(立方厘米) 答:表面积最小的长方体的体积为 1260 立方厘米 【思路点拨】我们可以设长方体的长、宽、高分别为a厘米、b厘米和c厘米。根据题意,有ab =180,bc=84。那么b必为180和84的公因数，而长方体的表面积为 (ab+bc+ca)x2=(180 +84+ca)x 2。因此,ca越小,则表面积越小,应该使ca尽可能小，使b尽可能大,应取180和84的最大公因数12,同时,c与a的值就可以求出。 3. 小林有面值为8分、1角和2角的纪念邮票若干张,总价为1元2角2分,那么他至少有几张邮票? [答案] 他至少有9张邮票 提示:由题意,面值大的应尽可能多才能使张数尽可能少,因为总价为122分,个位是2,因此8分的张数应是4张或9张,4×8=32,9x8=72,当然应取4张8分,这样就有 122-32=90(分),90=20x4+10,因此总数应为4张8分，4张2角,1张1角,共9张。 【例3】将572个桃子分给若干个孩子，这些孩子得到的桃子数量是一些连续的正整数，则获得桃子数量最多的那个孩子最多可以得到几个桃子？ 【分析】这些孩子得到的桃子数量是一些连续的正整数，构成一个等差数列；所以设第一人拿到x+1 个桃子，最后一人拿到x+k，则有k 个人，所以共有（x+1+x+k）×k÷2个桃子，即（x+1+x+k）×k÷2＝572；然后解不定方程即可． 【解答】解：设第一人拿到x+1 个桃子，最后一人拿到x+k，则有k 个人． （x+1+x+k）×k÷2＝572 整理得：1144＝（2x+1+k）×k 1144＝11×13×23 所以，k的值是偶数， k 为2，4 不合题意， 当k＝8时， 2x+1+k＝2x+9＝143， 则，x＝67， x+k＝67+8＝75； 答：获得桃子数量最多的那个孩子最多可以得到75个桃子． 【点评】本题考查了极值问题与分解质因数的综合应用，本题的难点是由桃子的数量构成一个等差数列，得到不定方程． 【例4】小丽计划用31元买每支2元、3元、4元三种不同价格的圆珠笔，每种至少买1支．问她最多能买多少支？最少能买多少支？ 【分析】买圆珠笔总费用是奇数，所以，买3元1支的圆珠笔的数量必须是奇数．高价格的笔买的越少，买圆