奥数新起点（6）第21讲 抽屉原理（讲义）-2023-2024学年六年级下册数学人教版

第21讲 抽屉原理 知识点介绍 抽屉原理有时也被称为鸽笼原理，它由德国数学家狄利克雷首先明确提出来并用来证明一些数论中的问题，因此，也被称为狄利克雷原则．抽屉原理是组合数学中一个重要而又基本的数学原理，利用它可以解决很多有趣的问题，并且常常能够起到令人惊奇的作用．许多看起来相当复杂，甚至无从下手的问题，在利用抽屉原则后，能很快使问题得到解决． 【模块一：知识点拨】 抽屉原理的定义 （1）举例 桌上有十个苹果，要把这十个苹果放到九个抽屉里，无论怎样放，有的抽屉可以放一个，有的可以放两个，有的可以放五个，但最终我们会发现至少我们可以找到一个抽屉里面至少放两个苹果。 （2）定义 一般情况下，把n＋1或多于n＋1个苹果放到n个抽屉里，其中必定至少有一个抽屉里至少有两个苹果。我们称这种现象为抽屉原理。 抽屉原理的解题方案 （一）利用公式进行解题 苹果÷抽屉＝商……余数 余数：（1）余数＝1， 结论：至少有（商＋1）个苹果在同一个抽屉里 （2）余数＝， 结论：至少有（商＋1）个苹果在同一个抽屉里 （3）余数＝0， 结论：至少有“商”个苹果在同一个抽屉里 （二）、利用最值原理解题 将题目中没有阐明的量进行极限讨论，将复杂的题目变得非常简单，也就是常说的极限思想“任我意”方法、特殊值方法． 【模块二：精讲精练】 【例1】三个小朋友在一起玩，其中必有两个小朋友都是男孩或者都是女孩． 解析：方法一：情况一：这三个小朋友，可能全部是男，那么必有两个小朋友都是男孩的说法是正确的；　　　　　　　　　　　　　　 情况二：这三个小朋友，可能全部是女，那么必有两个小朋友都是女孩的说法是正确的； 情况三：这三个小朋友，可能其中男女那么必有两个小朋友都是女孩说法是正确的； 情况四：这三个小朋友，可能其中男女，那么必有两个小朋友都是男孩的说法是正确的．所以，三个小朋友在一起玩，其中必有两个小朋友都是男孩或者都是女孩的说法是正确的； 方法二：三个小朋友只有两种性别，所以至少有两个人的性别是相同的，所以必有两个小朋友都是男孩或者都是女孩 【例2】四个连续的自然数分别被除后，必有两个余数相同，请说明理由． 解析：想一想，不同的自然数被除的余数有几类？在这道题中，把什么当作抽屉呢？ 把这四个连续的自然数分别除以，其余数不外乎是，，，把这个不同的余数当作个“抽屉”，把这个连续的自然数按照被除的余数，分别放入对应的个“抽屉”中，根据抽屉原理，至少有两个自然数在同一个抽屉里，也就是说，至少有两个自然数除以的余数相同 【课堂精炼】 1. 在任意的四个自然数中，是否其中必有两个数，它们的差能被整除？ 解析：因为任何整数除以，其余数只可能是，，三种情形．我们将余数的这三种情形看成是三个“抽屉”．一个整数除以的余数属于哪种情形，就将此整数放在那个“抽屉”里．将四个自然数放入三个抽屉，至少有一个抽屉里放了不止一个数，也就是说至少有两个数除以的余数相同（需要对学生利用余数性质进行解释：为什么余数相同，则差就能被整除）．这两个数的差必能被整除 2. 把十只小兔放进至多几个笼子里，才能保证至少有一个笼里有两只或两只以上的小兔？ 解析：要想保证至少有一个笼里有两只或两只以上的小兔，把小兔子当作“物品”，把“笼子”当作“抽屉”，根据抽屉原理，要把只小兔放进个笼里，才能保证至少有一个笼里有两只或两只以上的小兔． 【答案】 3. 把125本书分给五⑵班的学生，如果其中至少有一个人分到至少4本书，那么，这个班最多有多少人？ 解析：本题需要求抽屉的数量，需要反用抽屉原理和最“坏”情况的结合，最坏的情况是只有1个人分到4本书，而其他同学都只分到3本书，则，因此这个班最多有：(人)(处理余数很关键，如果有42人则不能保证至少有一个人分到4本书)． 【答案】 【例3】把1、2、3、…、10这十个数按任意顺序排成一圈，求证在这一圈数中一定有相邻的三个数之和不小于17． 解析：(法1)把这一圈从某一个数开始按顺时针方向分别记为、、、…、．相邻的三个数为一组，有、、、…、、共10组． 这十组三个数之和的总和为： ，，根据抽屉原理，这十组数中至少有一组数的和不小于17． (法2)在10个数中一定有一个数是1，不妨设，除去之外，把、、、…、这9个数按顺序分为三组、、．因为这三组数之和的总和为： ，根据抽屉原理，这三组数中至少有一组数之和不小于17 【例4】幼儿园买来很多玩具小汽车、小火车、小飞机，每个小朋友任意选择两件不同的，那么至少要有几个小朋友才能保证有两人选的玩具是相同的？ 解析：根据题意列下表： 有个小朋友就有三种不同的选择方法，当第四个小朋友准备拿时，不管他怎么选择都可以跟前面三个同学其中的一个选法相同．所以至少要有个小朋友