奥数新起点（6）第13讲 扇形（讲义）-2023-2024学年六年级下册数学人教版

第13讲 扇形 研究圆、扇形、弓形与三角形、矩形、平行四边形、梯形等图形组合而成的不规则图形，通过变动图形的位置或对图形进行分割、旋转、拼补，使它变成可以计算出面积的规则图形来计算它们的面积． 圆的面积；扇形的面积； 圆的周长；扇形的弧长． 【模块一：知识点拨】 1、 跟曲线有关的图形元素： ①扇形：扇形由顶点在圆心的角的两边和这两边所截一段圆弧围成的图形，扇形是圆的一部分．我们经常说的圆、圆、圆等等其实都是扇形，而这个几分之几表示的其实是这个扇形的圆心角占这个圆周角的几分之几．那么一般的求法是什么呢？关键是． 比如：扇形的面积所在圆的面积； 扇形中的弧长部分所在圆的周长 扇形的周长所在圆的周长2半径(易错点是把扇形的周长等同于扇形的弧长) ②弓形：弓形一般不要求周长，主要求面积． 一般来说，弓形面积扇形面积-三角形面积．(除了半圆) ③”弯角”：如图： 弯角的面积正方形-扇形 ④”谷子”：如图： “谷子”的面积弓形面积 2、 常用的思想方法： ①转化思想(复杂转化为简单，不熟悉的转化为熟悉的) ②等积变形(割补、平移、旋转等) ③借来还去(加减法) ④外围入手(从会求的图形或者能求的图形入手，看与要求的部分之间的”关系”) 【模块二：精讲精练】 【例1】如图，已知扇形的面积是半圆面积的倍，则角的度数是________． 解析：设半圆的半径为1，则半圆面积为，扇形的面积为．因为扇形的面积为，所以，，得到，即角的度数是60度． 【答案】60度 【例2】如图所示，求阴影面积，图中是一个正六边形，面积为1040平方厘米，空白部分是6个半径为10厘米的小扇形．(圆周率取) 解析：所要求的阴影面积是用正六边形的面积减去六个小扇形面积、正六边形的面积已知，现在关键是小扇形面积如何求，有扇形面积公式． 可求得，需要知道半径和扇形弧的度数，由已知正六边形每边所对圆心角为60°，那么，又知四边形是平行四边形，所以，这样就可求出扇形的面积和为(平方厘米)，阴影部分的面积(平方厘米)． 【答案】412 【课堂精炼】 1. 如下图，直角三角形的两条直角边分别长和，分别以为圆心，为半径画圆，已知图中阴影部分的面积是，那么角是多少度() 解析：, 三角形内两扇形面积和为， 根据扇形面积公式两扇形面积和为, 所以,. 【答案】60度 2. (09年第十四届华杯赛初赛)如下图所示，是半圆的直径，是圆心，，是的中点，是弦的中点．若是上一点，半圆的面积等于12平方厘米，则图中阴影部分的面积是 平方厘米． 解析：如下图所示，连接、、． 本题中由于、是半圆的两个三等分点，是的中点，是弦的中点，可见这个图形是对称的，由对称性可知与平行．由此可得的面积与的面积相等，所以阴影部分面积等于扇形面积的一半，而扇形的面积又等于半圆面积的，所以阴影部分面积等于半圆面积的，为平方厘米． 【答案】2 3. 如图，两个正方形摆放在一起，其中大正方形边长为12，那么阴影部分面积是多少？(圆周率取) 解析：方法一：设小正方形的边长为，则三角形与梯形 的面积均为．阴影部分为：大正方形梯形三角形右上角不规则部分大正方形右上角不规则部分圆．因此阴影部分面积为：． 方法二：连接、，设与的交点为，由于四边形是梯形，根据梯形蝴蝶定理有，所以 【答案】113.04 【例3】图中给出了两个对齐摆放的正方形，并以小正方形中右上顶点为圆心，边长为半径作一个扇形，按图中所给长度阴影部分面积为 ；() 解析：连接小正方形,有图可见 ∵ ∴ 同理，∴ ∴ ， ∴ 【答案】28.56 【例4】如图所示，是一边长为的正方形，是的中点，而是的中点．以为圆心、半径为的四分之一圆的圆弧交于，以为圆心、半径为的四分之一圆的圆弧交于点，若图中和两块面积之差为(其中、为正整数)，请问之值为何？ 解析:(法1)，， ，而 ， 所以，，． (法)如右上图，， ， 所以，，故． 【答案】11 【课堂精炼】 1. 2. 如图，矩形ABCD中，AB6厘米，BC4厘米，扇形ABE半径AE6厘米，扇形CBF的半径CB4厘米，求阴影部分的面积．(取3) 解析：方法一：观察发现，阴影部分属于一个大的扇形，而这个扇形除了阴影部分之外，还有一个不规则的空白部分ABFD在左上，求出这个不规则部分的面积就成了解决这个问题的关键． 我们先确定ABFD的面积，因为不规则部分ABFD与扇形BCF共同构成长方形ABCD， 所以不规则部分ABFD的面积为(平方厘米)， 再从扇形ABE中考虑，让扇形ABE减去ABFD的面积， 则有阴影部分面积为(平方厘米)． 方法二：利用容斥原理(平方厘米) 【答案】15 3. 求图中阴影部分的面积． 解析：阴影部分面积半圆面积扇形面积三角形面积． 【答案】41.04 【例5】如下