22.3 特殊的平行四边形 同步课程讲义 2023—2024学年沪教版（上海）数学 八年级第二学期

特殊的平行四边形 知识结构 模块一 矩形 知识精讲 1. 定义：有一个内角是直角的平行四边形叫做矩形． 注意：矩形的定义既是矩形的基本性质，也是判定矩形的基本方法． 2. 性质： 矩形除具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质． (1) 矩形的四个角都是直角； (2) 矩形的两条对角线相等． 注意：①矩形是特殊的平行四边形，因而也是中心对称图形．过对称中心的任意直线可将矩形分成完全全等的两部分． ②矩形也是轴对称图形，有两条对称轴(分别是通过对边中点的直线)． ③对称轴的交点就是对角线的交点 (即对称中心)． 3. 判定： 矩形的判定定理1：有三个内角是直角的四边形是矩形． 矩形的判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形． 例题解析 【例1】关于矩形的性质，以下说法不正确的是　　 A．四个角都是直角 B．对角线相等 C．对角线互相垂直 D．是轴对称图形 【例2】在四边形中，，．下列说法能使四边形为矩形的是　　 A． B． C． D． 【例3】下列条件不能判定一个四边形是矩形的是　　 A．四个内角都相等 B．四条边都相等 C．对角线相等且互相平分 D．对角线相等的平行四边形 【例4】如图，在矩形中，对角线，交于点，若，，则对角线的长是　　 A．4 B．3 C．2 D．1 【例5】已知四边形中，，，下列说法不正确的是　　 A．如果，那么四边形是矩形 B．如果，那么四边形是矩形 C．如果，那么四边形是矩形 D．如果，那么四边形是矩形 【例6】如图，在矩形中，，对角线与相交于点，垂直平分于点，则的长为　　 A． B． C．4 D．2 【例7】矩形的两条对角线的夹角为，一条对角线与较短边的和为6，则较长边为　　 ． 【例8】已知矩形，对角线与相交于点，如果，，那么的长是　 　． 【例9】如图，在矩形中，，在上取一点，使，则的度数为　 　． 【例10】如图，在矩形中，与相交于点，如果，，那么　　 ． 【例11】如图，矩形中，，，是上一点，把沿直线翻折，点恰好落在边上的点处，则　 　． 【例12】如图，中，，平分交于点，平分的外角，且．求证：四边形是矩形． 模块二 菱形 知识精讲 1. 定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形． 2. 性质：菱形除具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质： (1) 菱形的四条边都相等； (2) 菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角． 注意：①菱形是特殊的平行四边形，是中心对称图形，过中心的任意直线可将菱形分成完全全等的两部分； ②菱形也是轴对称图形，有两条对称轴(对角线所在的直线)，对称轴的交点就是对称中心； ③菱形的面积有两种计算方法： 一种是平行四边形的面积公式：底×高； 另一种是两条对角线乘积的一半(即四个小直角三角形面积之和)． 实际上，任何一个对角线互相垂直的四边形的面积都是两条对角线乘积的一半． 3. 判定： 菱形的判定定理1：四条边都相等的四边形是菱形． 菱形的判定定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形． 例题解析 【例13】已知四边形是菱形，和是菱形的对角线，那么下列说法一定正确的是　　 A． B． C． D． 【例14】已知平行四边形的对角线、相交于点．下列补充条件中，能判定这个平行四边形是菱形的是　　 A． B． C． D． 【例15】已知四边形中，，再补充一个条件使得四边形为菱形，这个条件可以是　　 A． B． C．与互相平分 D． 【例16】已知四边形，，、是它的两条对角线．下列条件中，不能判定四边形是菱形的是　　 A． B． C． D． 【例17】如图，在平面直角坐标系中，四边形是菱形，，点的坐标为，则点的坐标为　　 A． B．， C． D． 【例18】如图，在菱形中，对角线、交于点，若菱形的面积是12，则的面积为　　 A．3 B．6 C．24 D．48 【例19】已知菱形的周长为40，一条对角线长为12，则这个菱形的面积是　 　． 【例20】如果菱形的面积是24，较短的对角线长为6，那么这个菱形的边长是　 　． 【例21】如图，在菱形中，，，则的长为　 　． 【例22】如图，在菱形中，点是上一点，连接交对角线于点，连接，若，则　 　． 【例23】如图，，平分，且交于点，平分，且交于点，连接．求证：四边形是菱形． 【例24】如图，已知在四边形中，，点为中点，，平分． （1）求证：； （2）求证：四边形是菱形． 模块三 正方形 知识精讲 1. 定义：有一组邻边相等并且有一个内角是直角的平行四边形叫做正方形． 2. 正方形与矩形、菱形的关系： 矩形 邻边相等 正方形 菱形 一个角是直角 正方形 3. 性质定理： 正方形是特殊的