重难点05 圆的综合压轴题（6大题型+满分技巧+限时分层检测）-2024年中考数学【热点•重点•难点】专练（全国通用）

重难点05 圆的综合压轴题 中考数学中《圆的综合压轴题》部分主要考向分为六类： 一、圆中弧长和面积的综合题 二、圆与全等三角形的综合题 三、圆的综合证明问题 四、圆与等腰三角形的综合题 五、圆的阅读理解与新定义问题 六、圆与特殊四边形的综合题 圆的综合问题是中考数学中的压轴题中的一类，也是难度较大的一类，所以，对应的训练很有必要。 考向一：圆中弧长与面积的综合题 1．（2023•河北）装有水的水槽放置在水平台面上，其横截面是以AB为直径的半圆O，AB＝50cm，如图1和图2所示，MN为水面截线，GH为台面截线，MN∥GH． 计算：在图1中，已知MN＝48cm，作OC⊥MN于点C. （1）求OC的长． 操作：将图1中的水槽沿GH向右作无滑动的滚动，使水流出一部分，当∠ANM＝30°时停止滚动．如图2．其中，半圆的中点为Q，GH与半圆的切点为E，连接OE交MN于点D． 探究：在图2中． （2）操作后水面高度下降了多少？ （3）连接OQ并延长交GH于点F，求线段EF与的长度，并比较大小． 2．（2023•乐山）在学习完《图形的旋转》后，刘老师带领学生开展了一次数学探究活动． 【问题情境】 刘老师先引导学生回顾了华东师大版教材七年级下册第121页“探索”部分内容： 如图1，将一个三角形纸板△ABC绕点A逆时针旋转θ到达的位置△AB′C′的位置，那么可以得到： AB＝AB′，AC＝AC′，BC＝B′C′； ∠BAC＝∠B′AC′，∠ABC＝∠AB′C′，∠ACB＝∠AC′B′．（_____） 刘老师进一步谈到：图形的旋转蕴含于自然界的运动变化规律中，即“变”中蕴含着“不变”，这是我们解决图形旋转的关键．故数学就是一门哲学． 【问题解决】 （1）上述问题情境中“（_____）”处应填理由：　 　； （2）如图2，小王将一个半径为4cm，圆心角为60°的扇形纸板ABC绕点O逆时针旋转90°到达扇形纸板A′B′C′的位置． ①请在图中作出点O； ②如果BB′＝6cm，则在旋转过程中，点B经过的路径长为 　 　； 【问题拓展】 小李突发奇想，将与（2）中完全相同的两个扇形纸板重叠，一个固定在墙上，使得一边位于水平位置．另一个在弧的中点处固定，然后放开纸板，使其摆动到竖直位置时静止．此时，两个纸板重叠部分的面积是多少呢？如图3所示，请你帮助小李解决这个问题． 考向二：圆与全等三角形综合题 1．（2023•济宁）如图，已知AB是⊙O的直径，CD＝CB，BE切⊙O于点B，过点C作CF⊥OE交BE于点F，EF＝2BF． （1）如图1，连接BD，求证：△ADB≌△OBE； （2）如图2，N是AD上一点，在AB上取一点M，使∠MCN＝60°，连接MN．请问：三条线段MN，BM，DN有怎样的数量关系？并证明你的结论． 2．（2023•哈尔滨）已知△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，N为的中点，连接ON交AC于点H． （1）如图①，求证：BC＝2OH； （2）如图②，点D在⊙O上，连接DB，DO，DC，DC交OH于点E，若DB＝DC，求证OD∥AC； （3）如图③，在（2）的条件下，点F在BD上，过点F作FG⊥DO，交DO于点G，DG＝CH，过点F作FR⊥DE，垂足为R，连接EF，EA，EF：DF＝3：2，点T在BC的延长线上，连接AT，过点T作TM⊥DC，交DC的延长线于点M，若FR＝CM，AT＝4，求AB的长． 3．（2023•长春）【感知】如图①，点A、B、P均在⊙O上，∠AOB＝90°，则锐角∠APB的大小为 　45　度． 【探究】小明遇到这样一个问题：如图②，⊙O是等边三角形ABC的外接圆，点P在弧AC上（点P不与点A、C重合），连接PA、PB、PC．求证：PB＝PA+PC．小明发现，延长PA至点E，使AE＝PC，连接BE，通过证明△PBC≌△EBA．可推得△PBE是等边三角形，进而得证．下面是小明的部分证明过程： 证明：延长PA至点E，使AE＝PC，连接BE． ∵四边形ABCP是⊙O的内接四边形， ∴∠BAP+∠BCP＝180°， ∵∠BAP+∠BAE＝180°， ∴∠BCP＝∠BAE， ∵△ABC是等边三角形， ∴BA＝BC， ∴△PBC≌△EBA（SAS）． 请你补全余下的证明过程． 【应用】如图③，⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC＝90°，AB＝BC，点P在⊙O上，且点P与点B在AC的两侧，连接PA、PB、PC，若，则的值为 　　． 考向三：圆的综合证明问题 1．（2023•黄石）如图，AB为⊙O的直径，DA和⊙O相交于点F，AC平分∠DAB，点C在⊙O上，且CD⊥DA，AC交BF于点P． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）求证：AC•PC＝BC2； （3）已知BC2