专题08 数列（五大题型）-【好题汇编】2024年高考数学一模试题分类汇编（广东专用）

专题08 数列 题型01 等差数列 1. （2024下·广东·百校联考）已知等差数列的前项和是，且，则______． 2.（2024下·广东·梅州市一模）在3与15之间插入3个数，使这5个数成等差数列，则插入的3个数之和为（ ） A. 21 B. 24 C. 27 D. 30 3.（2024下·广东·广州市二中模拟）已知等差数列的前项和为，则数列的公差是（    ） A．2 B．3 C． D．5 4.（2024下·广东·梅州市一模）设是等差数列，是等比数列.已知，，. （1）求和的通项公式； （2）数列和的项从小到大依次排列（相等项计两项）得到新数列，求的前50项的和. 5.（2024下·广东·茂名市一模）设为数列的前项和，已知是首项为、公差为的等差数列. （1）求的通项公式； （2）令，为数列的前项积，证明：. 6.（2024下·广东·深圳市一模）设为数列的前项和，已知，且为等差数列． （1）求证：数列为等差数列； （2）若数列满足，且，设为数列的前项和，集合，求（用列举法表示）． 题型02 等比数列 1. （2024下·广东·江门一模）已知是等比数列，，且，是方程两根，则（ ） A. B. C. D. 2.（2024下·广东·广州市一模）记为等比数列的前项和，若，则（ ） A.5 B.4 C.3 D.2 3.（2024下·广东·佛山禅城一模）已知数列满足，，且． （1）证明为等比数列，并求数列的通项公式； （2）设，且数列的前项和为，证明：当时，． 4.（2024下·广东·梅州市一模）已知数列和，其中，，数列的前项和为． （1）若，求； （2）若是各项为正的等比数列，，求数列和的通项公式． 题型03 数列通项公式 1. （2024下·广东·东莞模拟）在数列中，，且，则的通项公式为_________． 2．（2024下·广东·佛山禅城一模）设数列的前项之积为，满足（），则（ ） A． B． C． D． 3.（2024下·广东惠州·模拟）设数列的前项之积为，满足（），则（    ） A． B． C． D． 4.（2024下·广东·茂名市一模）数列满足，（），，若数列是递减数列，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 题型04 数列前n项和 1.（2024下·广东·广州市一模）已知数列的前项和，当取最小值时，__________. 2.（2024下·广东·梅州市一模）______. 3.（2024下·广东·深圳市一模）已知数列满足，，若为数列的前项和，则（ ） A. 624 B. 625 C. 626 D. 650 4. （2024下·广东·番禺）已知公差不为0的等差数列的前项和为，且成等比数列，． （1）求数列的前n项和． （2）若，，求满足条件的的集合． 5.（2024下·广东·广州天河区一模）已知数列中，. （1）求数列的通项公式； （2）令，记为的前项和，证明：时，. 6.已知数列的前项和为，，，． (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和． (1) (2) 7.（2024下·广东广州·联考）已知数列中，. (1)求数列的通项公式； (2)令，记为的前项和，证明：时，. 8.（2024下·广东东莞·联考）记是等差数列的前项和，数列是等比数列，且满足，． (1)求数列和的通项公式； (2)设数列满足， （ⅰ）求的前项的和； （ⅱ）求. 题型06 数列新颖题型 1.（2024下·广东大湾区·校联考模拟预测）在无穷数列中，令，若，，则称对前项之积是封闭的． （1）试判断：任意一个无穷等差数列对前项之积是否是封闭的？ （2）设是无穷等比数列，其首项，公比为．若对前项之积是封闭的，求出的两个值； （3）证明：对任意的无穷等比数列，总存在两个无穷数列和，使得，其中和对前项之积都是封闭的． 2.（2024下·广东·江门一模）将2024表示成5个正整数，，，，之和，得到方程①，称五元有序数组为方程①的解，对于上述的五元有序数组，当时，若，则称是密集的一组解. （1）方程①是否存在一组解，使得等于同一常数?若存在，请求出该常数；若不存在，请说明理由； （2）方程①的解中共有多少组是密集的? （3）记，问是否存在最小值?若存在，请求出的最小值；若不存在，请说明理由. 3.（2024下·广东河源·联考）英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式：当在处的阶导数都存在时，．注：表示的2阶导数，即为的导数，表示的阶导数，该公式也称麦克劳林公式． (1)根据该公式估算的值，精确到小数点后两位； (2)由该公式可得：．当时，试比较与的大小，并给出证明； (3)设，证明：． 4.（2024下·广东中山·联考）记集合无穷数列中存在有限项不为零，，对任意，设变