3.2.2 课时2 双曲线的简单几何性质学案-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019)选择性必修第一册

课时2 双曲线的简单几何性质 学习目标 1.能利用双曲线的简单几何性质解决实际问题. 2.能求解与双曲线有关的轨迹问题，了解双曲线的第二定义. 3.能解决直线与双曲线的位置关系问题，体会方程思想在双曲线中的应用. 学习活动 学习笔记 导入： 完成下列表格. 目标一：能利用双曲线的简单几何性质解决实际问题. 任务：将实际问题抽象成数学问题，利用双曲线相关性质求解. 双曲线型冷却塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面.它的最小半径为12m,上口半径为13m,下口半径为25m,高为55m. 问题1.该曲面有何特征？如何建立平面直角坐标系？ 问题2.如图所示，思考、、、、、的坐标分别是多少？ 问题3.如何求此双曲线方程(精确到1m)？ 思考1：如何利用双曲线的性质解决实际问题？ 【归纳总结】 双曲线的性质解决实际问题基本步骤： 目标二：能求解与双曲线有关的轨迹问题，了解双曲线的第二定义. 任务：探究双曲线有关的轨迹问题. 动点M(x,y)与定点F(4,0)的距离和它到定直线l：的距离的比是常数. 求动点M的轨迹. 问题1.如何用数学符号语言表达上述条件？ 问题2.如何求动点M的轨迹？ 练一练 动点M(x,y)与定点F(c,0)(c>0)的距离和它到定直线l：的距离的比是. 求动点M的轨迹. 思考2：双曲线除了之前的定义，还有没有第二类定义？ 【归纳总结】 双曲线第二定义： 目标三：能解决直线与双曲线的位置关系问题，体会方程思想在双曲线中的应用. 任务：求解直线与双曲线相交弦问题. 如图，过双曲线的右焦点倾斜角为30°的直线交双曲线于A,B两点,求|AB|. 思考3：能不能不算出A、B两点具体坐标求? 思考4：第二种方法与第一种方法有什么联系和区别？ 【归纳总结】 弦长的求法（设而不求）： 学习总结 任务：根据下列关键词，建构知识导图. “实际问题”、“第二定义”、“弦长” 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 课时2 双曲线的简单几何性质 学习目标 1.能利用双曲线的简单几何性质解决实际问题. 2.能求解与双曲线有关的轨迹问题，了解双曲线的第二定义. 3.能解决直线与双曲线的位置关系问题，体会方程思想在双曲线中的应用. 学习活动 路径与学法 导入： 完成下列表格. 参考答案： 目标一：能利用双曲线的简单几何性质解决实际问题. 任务：将实际问题抽象成数学问题，利用双曲线相关性质求解. 双曲线型冷却塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面.它的最小半径为12m,上口半径为13m,下口半径为25m,高为55m. 问题1.该曲面有何特征？如何建立平面直角坐标系？ 参考答案：（1）其轴截面左右两端的曲线为双曲线的一部分，最小圆的直径等于双曲线的实轴长.（2）根据双曲线的对称性，在冷却塔的轴截面所在平面建立直角坐标系Oxy，使小圆的直径AA'在x轴上，圆心与原点重合. 问题2.如图所示，思考、、、、、的坐标分别是多少？ 参考答案：由问题1可知，上、下口的直径都平行于x轴，且 |CC'|=13×2 , |BB'|=25×2，所以、、、、、. 问题3.如何求此双曲线方程(精确到1m)？ 参考答案：因为直径AA'实轴，所以a=12.又B，C两点都在双曲线上，所以，由方程②，得(负值舍去).代入方程①，得，化简得 .得b≈25（负值舍去）因此所求双曲线的方程为. 思考1：如何利用双曲线的性质解决实际问题？ 【归纳总结】 双曲线的性质解决实际问题基本步骤： 1.转化：将实际问题抽象成数学问题，并作简图； 2.建系：根据要求合理建立空间直角坐标系，并求出相关点坐标； 3.求解：利用双曲线有关性质求解双曲线问题； 4.解释：通过结果对实际问题进行解释、说明. 围绕导入： 1.组织学生逐个回答表格中的问题，然后导入课堂. 围绕任务： 1.组织学生阅读材料，然后思考回答问题1； 2.教师根据学生的回答在黑板上作出简图，同时强调双曲线建系要依据对称轴； 3.然后组织学生根据平面直角坐标系，快速回答、、、、、的坐标，教师根据学生的回答，在图像上写出各点坐标； 4.组织学生思考回答问题3（只需要讲出思路）; 5.教师点评，然后讲解并展示过程； 6.组织学生小组讨论完成思考1； 7.教师随机点名，选择学生回答； 8.教师点评，归纳总结，并板书步骤. 目标二：能求解与双曲线有关的轨迹问题，了解双曲线的第二定义. 任务：探究双曲线有关的轨迹问题. 动点M(x,y)与定点F(4,0)的距离和它到定直线l：的距离的比是常数. 求动点M的轨迹. 问题1.如何用数学符号语言表达上述条件？ 参考答案：设d是点M到直线l的距离，根据题意，动点M的轨迹就是点的集合 . 问题2.如何求动点M的轨迹？ 参考答案