3.2.2 课时1 双曲线的简单几何性质学案-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019)选择性必修第一册

课时1 双曲线的简单几何性质 学习目标 1.能够推导、归纳双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线等性质. 2.理解双曲线离心率的定义、取值范围和几何意义. 学习活动 学习笔记 导入： 椭圆和有哪些性质？ 目标一：能够推导、归纳双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线等性质. 任务1：类比椭圆性质的求法，探究双曲线的性质. 1.观察双曲线的图象，从图形和代数两个途径探究双曲线的范围、对称性、顶点性质. 思考：如果令x=0，y有没有解，这说明双曲线的什么特征？ 【归纳总结】 双曲线的性质： 1.范围： 2.对称性： 3.顶点： 4.实轴： 5.虚轴： 6.等轴双曲线： 练一练： 1.双曲线的虚轴长为　　 A． B． C．4 D．2 任务2：探究双曲线的渐近线特点. 双曲线的右支上取一点,测量点的横坐标以及它 到直线的距离.沿曲线向右上方拖动点，观察与的大小关系，你发现了什么？ 双曲线的几何性质渐进线展示.gsp. 【新知讲解】 双曲线的渐近线： 思考：结合双曲线的性质，如何才能比较准确的画出双曲线？ 练一练： 1.双曲线的渐近线方程是　　 A. B. C. D. 【归纳总结】 双曲线渐近线方程求法： 1. 公式法： 2. 推导法： 目标二：理解双曲线离心率的定义、取值范围和几何意义. 【新知讲解】 双曲线离心率： 任务1：探究双曲线离心率刻画双曲线的几何特征. 椭圆离心率刻画了椭圆的扁平程度，观察图象，双曲线的离心率与双曲线的图象有什么关系？你能根据代数推导的方式说明原因吗？ 离心率对双曲线形状的影响1.gsp 【归纳总结】 任务2：根据双曲线的性质，求双曲线的离心率. 求双曲线的半实轴长和半虚轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程. 思考：求解与双曲线有关的性质问题的方法步骤有哪些？ 【归纳总结】 练一练 求双曲线的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率、渐近线方程. 学习总结 任务：完成下列表格. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 课时1 双曲线的简单几何性质 学习目标 1.能够推导、归纳双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线等性质. 2.理解双曲线离心率的定义、取值范围和几何意义. 学习活动 导入： 椭圆和有哪些性质？ 参考答案： 目标一：能够推导、归纳双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线等性质. 任务1：类比椭圆性质的求法，探究双曲线的性质. 1.观察双曲线的图象，从图形和代数两个途径探究双曲线的范围、对称性、顶点性质. 参考答案： （1） 关于范围：从图形来看，其范围为，；从代数方面，由方程知，，所以，即,.如图 （2）关于对称性：从图形来看，双曲线关于x轴、y轴和坐标原点对称；从代数方面，用-x代x，将其代入双曲线方程，得即，所以双曲线关于y轴对称；同理将-y代y，-x,-y代x，y，分别将其代入双曲线方程中，方程的形式不变，所以双曲线关于x轴和坐标原点对称. （3）关于顶点：从图形来看，双曲线顶点为双曲线与x轴的交点；从代数方面，令y=0，所以双曲线方程为，解得，即双曲线的顶点为. 思考：如果令x=0，y有没有解，这说明双曲线的什么特征？ 参考答案：y无解，说明焦点在x轴的双曲线与y轴不相交. 【归纳总结】 双曲线的性质： 1.范围：,； 2.对称性：关于x轴、y轴和坐标原点对称，其中坐标原点叫做双曲线的对称中心； 3.顶点：双曲线与对称轴的交点，即； 4.实轴：线段叫做双曲线的实轴，它的长为2a,a叫做实半轴长； 5.虚轴：线段 叫做双曲线的虚轴，它的长为2b,b叫做双曲线的虚半轴长; 6.等轴双曲线：实轴与虚轴等长的双曲线，其曲线方程可以表示为. 练一练： 1.双曲线的虚轴长为　　 A． B． C．4 D．2 参考答案：解：双曲线的虚轴长为4．故选：． 任务2：探究双曲线的渐近线特点. 双曲线的右支上取一点,测量点的横坐标以及它 到直线的距离.沿曲线向右上方拖动点，观察与的大小关系，你发现了什么？ 双曲线的几何性质渐进线展示.gsp. 参考答案：双曲线上的点在远离原点时无限接近这条直线但永远不能到达这条直线． 【新知讲解】 一般地，双曲线的两支向外延伸时，与两条直线逐渐接近，我们把这两条直线叫做双曲线的渐近线，如图. 思考：结合双曲线的性质，如何才能比较准确的画出双曲线？ 参考答案：画双曲线时，我们可以先画矩形框，然后画出双曲线的渐近线，最后再画双曲线． 练一练： 1.双曲线的渐近线方程是　　 A. B. C. D. 参考答案：解：双曲线的渐近线方程是：． 故选：． 【归纳总结】 双曲线渐近线方程求法： 1. 公式法