3.1.2 椭圆的简单几何性质 学案-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019)选择性必修第一册

课时1 椭圆的简单几何性质 学习目标 1.通过代数推导的方法，掌握椭圆的范围、对称性和顶点. 2.理解椭圆离心率的几何意义及其相关概念. 学习活动 目标一：通过代数推导的方法，掌握椭圆的范围、对称性和顶点. 任务1：观察椭圆的形状，探究椭圆的几何性质. 1.观察椭圆图象，猜想它的上下边界分别是多少？如何利用椭圆方程验证？ 2.根据问题1，说说在椭圆上有哪些特殊点，如何求出这些特殊点坐标？ 【新知讲解】 3.我们之前学了图形对称和点对称的有关概念和特点，那么回顾关于x,y轴以及原点的对称点坐标之间有什么关系？ 4.我们知道椭圆即是轴对称图形，又是中心对称图形，如何利用代数方法推导椭圆的对称性呢？ 【归纳总结】 练一练： 1.椭圆3x2+4y2=12的长轴长、短轴长分别为 (　　)　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.2， B.，2 C.4，2 D.2，4 2.如图，把椭圆的长轴分成8等份，过每个分点作轴的垂线交椭圆的上半部分于点，，…，，是椭圆的左焦点，则（ ） A．35 B．30 C．25 D．20 目标二：理解椭圆离心率的几何意义及其相关概念. 任务1：探究椭圆形状与参数的关系和离心率的几何意义. 观察椭圆曲线演示，椭圆的扁平程度与什么有关？具体关系又是怎样的？ 【新知讲解】 离心率： 思考1：离心率与椭圆的形状（扁平）有什么关系？ 思考2：结合图象，除了思考1的方法之外，如何利用三角函数的知识解释思考1的结论呢？ 练一练 求椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标. 学习总结 任务：完成下列表格. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 课时1 椭圆的简单几何性质 学习目标 1.通过代数推导的方法，掌握椭圆的范围、对称性和顶点. 2.理解椭圆离心率的几何意义及其相关概念. 学习活动 目标一：通过代数推导的方法，掌握椭圆的范围、对称性和顶点. 任务1：观察椭圆的形状，探究椭圆的几何性质. 1.观察椭圆图象，猜想它的上下边界分别是多少？如何利用椭圆方程验证？ 参考答案：猜想：-b<y<b，-a<x<a. 证明：因为，所以，所以，所以，即，同理，即. 综上，椭圆位于直线和围成的矩形框里. 2.根据问题1，说说在椭圆上有哪些特殊点，如何求出这些特殊点坐标？ 参考答案：特殊点：、、、；根据图象，令y=0，有，所以（-a，0），（a，0），同理可得（0，-b），（0，b）. 【新知讲解】 如图，当焦点在x轴时，线段，分别叫做椭圆的长轴和短轴，，．和分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长. 注：椭圆上的点到焦点距离最小为，最大为. 3.我们之前学了图形对称和点对称的有关概念和特点，那么回顾关于x,y轴以及原点的对称点坐标之间有什么关系？ 参考答案：关于x轴对称的点，其坐标是横坐标不变，纵坐标相反，即f(x，-y)=f(x，y)；关于y轴对称的点，其坐标是横坐标相反，纵坐标不变,即f(-x，y)=f(x，y). 4.我们知道椭圆即是轴对称图形，又是中心对称图形，如何利用代数方法推导椭圆的对称性呢？ 参考答案：将f(x，-y)代入椭圆方程中，发现其方程不变，此时说明对于椭圆中的任意一点P（x，y)，其关于轴的对称点也在椭圆上，即f(x，-y)=f(x，y)；所以椭圆关于轴对称； 同理，将f(-x，y)代入椭圆方程中，发现f(x，-y)=f(x，y)，即椭圆关于轴对称. 将f(-x，-y)代入椭圆方程中,得到方程不变，即f(-x，-y)=f(x，y)，说明椭圆关于原点对称. 【归纳总结】 椭圆是以轴、轴都是对称的.坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心,椭圆的对称中心叫做椭圆的中心． 练一练： 1.椭圆3x2+4y2=12的长轴长、短轴长分别为 (　　)　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.2， B.，2 C.4，2 D.2，4 参考答案：把3x2+4y2=12化成标准形式为,得a2=4,b2=3,则长轴长为4,短轴长为2，故选C. 2.如图，把椭圆的长轴分成8等份，过每个分点作轴的垂线交椭圆的上半部分于点，，…，，是椭圆的左焦点，则（ ） A．35 B．30 C．25 D．20 参考答案：设椭圆的右焦点为，由椭圆的对称性，知，，，所以 . 故选：A. 目标二：理解椭圆离心率的几何意义及其相关概念. 任务1：探究椭圆形状与参数的关系和离心率的几何意义. 观察椭圆曲线演示，椭圆的扁平程度与什么有关？具体关系又是怎样的？ 参考答案：椭圆的扁平程度与、两个量有关，具体关系：保持长半轴不变，改变椭圆得半焦距，可以发现越接近，椭圆越扁平；保持半焦距不变，改变椭圆长半轴的大小，可以发现越接近，椭圆越扁平.而当与扩大或缩小相同倍数时，椭圆的形状不变.