3.1.1 课时2 椭圆及其标准方程学案-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019)选择性必修第一册

课时2 椭圆及其标准方程 学习目标 1.掌握椭圆标准方程的求法，求椭圆的标准方程. 2.能根据已知条件，求与椭圆有关的轨迹方程. 学习活动 导入： 1.椭圆定义是什么?其标准方程有几种形式？ 目标一：掌握椭圆标准方程的求法，求解椭圆的标准方程. 任务1：求椭圆方程，并归纳求解方法. 已知椭圆的两个焦点坐标分别是，并且经过点，求它的标准方程. 思考：法1、法2分别采用了什么方法求椭圆方程，二者之间有什么区别和联系？ 【归纳总结】 已知椭圆上一点坐标及焦点坐标，求椭圆方程方法： 练一练 已知椭圆的左、右焦点分别为，，左顶点为．点在椭圆上，且焦距为4．求椭圆的方程． 目标二：能根据已知条件，求与椭圆有关的轨迹方程. 任务1：根据已知，利用相关点法求与椭圆有关的轨迹问题. 如图，在圆上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足.当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹是什么？为什么？ 思考1：如何利用相关点法求轨迹？ 【归纳总结】 相关点法求轨迹问题步骤. 思考2：圆可以通过“压缩”得到椭圆，那么圆通过“拉伸”可以得到椭圆吗？由此椭圆与圆之间有什么关系？ 任务2：根据已知，求下列轨迹方程，理解椭圆的性质. 如图,设点A、B的坐标分别为,直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是，求点M的轨迹方程. 思考：1.当一个动点与两个定点连线的斜率之积为-1时，动点轨迹是什么？ 2.当一个动点与两个定点连线的斜率之积是一个正常数，动点轨迹又是什么？ 【归纳总结】 椭圆的性质： 练一练 设为坐标原点，动点在椭圆上，过作轴的垂线，垂足为，点满足．求点的轨迹方程． 学习总结 任务：回答下列问题，构建知识导图. 1. 如何求椭圆的标准方程？ 2. 根据已知，如何求椭圆的轨迹方程？ 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 椭圆及其标准方程 学习目标 1.掌握椭圆标准方程的求法，求椭圆的标准方程. 2.能根据已知条件，求与椭圆有关的轨迹方程. 学习活动 导入： 1.椭圆定义是什么?其标准方程有几种形式？ 参考答案： （1）定义：平面内与两个定点的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆. （2）焦点在x轴上的标准方程：（）； 焦点在y轴上的标准方程：（）. 目标一：掌握椭圆标准方程的求法，求解椭圆的标准方程. 任务1：求椭圆方程，并归纳求解方法. 已知椭圆的两个焦点坐标分别是，并且经过点，求它的标准方程. 参考答案：法1.解：由于椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为.由椭圆的定义知，，所以. 所以.所以，所求椭圆的标准方程为. 法2.解：由于椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为.由椭圆的定义知，又因为椭圆经过点，所以将该点代入椭圆方程可得，，与联立，可得.所以.所以，所求椭圆的标准方程为. 思考：法1、法2分别采用了什么方法求椭圆方程，二者之间有什么区别和联系？ 【归纳总结】 已知椭圆上一点坐标及焦点坐标，求椭圆方程方法： （1） 定义法，即根据已知条件，利用两点间距离公式求出参数a、b、c，进而求得椭圆方程； （2）待定系数法，先根据题意设出椭圆标准方程，在代点列出关于a、b的方程组，通过解方程组，求解椭圆标准方程. 练一练 已知椭圆的左、右焦点分别为，，左顶点为．点在椭圆上，且焦距为4．求椭圆的方程． 参考答案：解：由题意，则，，，解得，，所以椭圆的方程为：. 目标二：能根据已知条件，求与椭圆有关的轨迹方程. 任务1：根据已知，利用相关点法求与椭圆有关的轨迹问题. 如图，在圆上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足.当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹是什么？为什么？ 参考答案：解：设点M的坐标为，点P的坐标为，则点D的坐标为.由点M是线段PD的中点，得.因为点在圆上，所以.①把代入方程①，得，即.所以点M的轨迹是椭圆. 思考1：如何利用相关点法求轨迹？ 【归纳总结】 相关点法求轨迹问题步骤. 1.设所求动点P（x,y），已知动点，的坐标满足关系f(x，y）=0； 2.找出P与坐标之间的关系，并表示为； 3.将（2）中的关系式代入f(x，y），即得所求动点P（x,y）的轨迹方程. 思考2：圆可以通过“压缩”得到椭圆，那么圆通过“拉伸”可以得到椭圆吗？由此椭圆与圆之间有什么关系？ 参考答案：可以，通过伸缩变换，圆可以得到椭圆，也可以由椭圆得到圆. 任务2：根据已知，求下列轨迹方程，理解椭圆的性质. 如图,设点A、B的坐标分别为,直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是，求点M的轨迹方程. 参考答案：解：设点M的坐标为(x,y),因为点A的坐标是(-5,0),所以直线AM的斜率为，同理，直线BM的斜率由已知，有化简，得点M的轨迹方程为 点M的轨迹是除去(-5