(普查练习)第22课 平面向量基本定理及坐标表示-2023版高考理科数学一轮【提分宝典】全考点普查随堂课后练(全国版)

第22课 平面向量基本定理及坐标表示

 

普查与练习22　　　　平面向量基本定理及坐标表示

 

1．平面向量基本定理及其应用

a．基底的判断

(1)(2023汇编，5分)下面几种说法中，正确的是__②⑤__．(填序号)

①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底；

②零向量不可以作为基底中的向量；

③a＝λe1＋μe2可以表示平面内的所有向量；

④若e1，e2是平面α内不共线的两个向量，则e1－2e2与4e2－2e1可作为表示平面α内所有向量的一组基底；

⑤e1，e2是平面内不共线的两个向量，若λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0；

⑥同一向量在不同基底下的表示是相同的；

⑦若e1，e2是平面α内不共线的两个向量，则对于平面α内的任意向量a，使a＝λe1＋μe2成立的实数对有无穷多个．

解析：①错误：只要是不共线的一对向量就可以作为表示该平面内所有向量的基底，基底的选取并不是唯一的；

②正确：零向量和任何向量都共线，与基底的定义不符；

③错误：根据平面向量基本定理可知，e1，e2必须是不共线向量；

④错误：因为e1－2e2＝－(4e2－2e1)，所以向量e1－2e2，4e2－2e1是共线向量，不能作为表示平面α内所有向量的一组基底；

⑤正确：因为e1，e2为一组不共线向量，若λe1＋μe2＝0, 即λe1＝－μe2，只有当λ＝μ＝0时，才能成立；

⑥错误：基底不同，向量的表示也不同，当基底确定后，向量的表示才是唯一的；

⑦错误：根据平面向量基本定理可知，实数对(λ，μ)应该只有唯一一对．

b．用已知基底表示向量

(2)(2021广东中山月考，5分)我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示．在“赵爽弦图”中，若＝a，＝b，＝3，则＝(　B　)

A.a＋b  B.a＋b

C.a＋b  D.a＋b

解析：根据题意知＝＋＝＋＝＋(＋)＝＋，即＝＋，解得＝＋，即＝a＋b.故选B.

(3)(2021广州大学附属中学月考，5分)如图所示的△ABC中，点D是线段AC上靠近A的三等分点，点E是线段AB的中点，则＝(　B　)

A．－－  B．－－

C．－－  D．－＋

解析：(法一)依题意知＝＋＝－－＝－＋－＝－－.故选B.

(法二) 依题意知＝＋＝－＋＝(－)－＋＝－－.故选B.

c．选择合适的基底表示向量

(4)(2020河南郑州期中，5分)如图所示，已知点G是△ABC的重心，过G作直线与AB，AC两边分别交于M，N两点，且＝x，＝y，则的值为____．

解析：∵M，G，N三点共线，∴＝m＋(1－m).又∵＝x，  ＝y，∴＝mx＋(1－m)y.∵G是△ABC的重心，∴＝(＋)．

又∵＝mx＋(1－m)y，

∴根据平面向量基本定理，得mx＝(1－m)y＝，

易知m≠0，1，∴x＝，y＝，

∴＝＝＝.