专题01平面向量的线性运算及数量积十个重难点归类-2023-2024学年高一数学下学期期中期末重难点归类及真题训练 （人教A版2019必修第二册）

专题01平面向量的线性运算及数量积 一、向量的线性运算 向量运算 定　义 法则（或几何意义） 运算律 加法 求两个向量和的运算 （1）交换律： （2）结合律： 减法 减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量 数乘 求实数与向量的积的运算 （1）； （2）当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；当时， ； ； 共线向量定理：向量与b共线的充要条件是存在唯一一个实数，使得 三点共线向量表示的两个结论： 结论1：如图1，点共线的充要条件是存在唯一实数，使得. 结论2：设是平面内的任意一点，点A，B，C共线的充要条件是存在唯一实数使得. 二、平面向量数量积的概念 （1）数量积的概念 已知两个非零向量，我们把数量叫做向量与的数量积(或内积)，记作,即，其中是与的夹角. 【注】零向量与任一向量的数量积为0. 投影向量：①定义：如图，设是两个非零向量，，作如下的变换：过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为得到，则称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量. ②计算：设与方向相同的单位向量为，与的夹角为，则向量在向量上的投影向量是. 三、平面向量数量积的运算律 已知向量和实数,则 交换律 ； 数乘结合律 ； 分配律 . 四、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角及性质 设非零向量，是与的夹角， （1）数量积：；（2）模：. （3）夹角： （4）垂直与平行：； 【注】当与同向时, ；当与反向时，. （5）性质： (当且仅当时等号成立) 【重难点01平面向量的线性运算】 例1．下列运算正确的个数是（    ） ①； ②； ③. A．0 B．1 C．2 D．3 例2．化简： . 向量的线性运算形式上类似于实数加减法与乘法满足的运算法则,实数运算中去括号、移项、合并同类项等变形手段在向量的线性运算中均可使用. 【跟踪练习】 练习1．平面上四点，，，，满足，那么下列关系成立的是（    ） A． B． C． D． 练习2．已知在中，为的中点，点满足，则（    ） A． B． C． D． 练习3．设是所在平面内的一点，，则（    ） A． B． C． D． 练习4．如图，在正六边形ABCDEF中， ．  【重难点02向量共线的判定及三点共线】 例3．已知向量不共线，且，，若与反向共线，则实数的值为（     ） A．1 B．－ C．1或－ D．－1或－ 例4．设是不共线的两个非零向量． (1)若，求证：三点共线； (2)若与共线，求实数k的值． （1）当时,与同向;当时, 与反向(). （2）点共线的充要条件是存在唯一实数，使得 【跟踪练习】 练习1．已知平面向量和实数，则“”是“与共线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 练习2．设分别是的三边上的点，且，则与（   ） A．反向平行 B．同向平行 C．互相垂直 D．既不平行也不垂直 练习3．设是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且三点共线，则实数k的值为 ． 练习4．设，是不共线的两个非零向量. (1)若，求证：A，B，C三点共线； (2)若与共线，求实数k的值. 【重难点03共线定理的推论】 例5．已知点O是的内心，，，则 . 例6．已知四边形的对角线交于点为的中点，若，则 . 设是平面内的任意一点，点共线的充要条件是存在唯一实数使得. 【跟踪练习】 练习1．直线l上有不同的三点A，B，C，O是直线l外一点，对于向量(是锐角)总成立，则 ． 练习2．已知中，点D在线段（不含端点）上，且满足，则的最小值为 . 练习3．如图所示，在中，，P是上的一点，若，则实数m的值为 ． 练习4．在中，是边的中点，，过点的直线交直线分别于两点，且，则 . 【重难点04用已知向量表示其它向量】 例7．如图，在中，设，，AP的中点为Q，BQ的中点为R，CR的中点为P，则用、表示的式子为 . 例8．如图，G是△OAB的重心，P，Q分别是边OA、OB上的动点，且P，G，Q三点共线． (1)设，将用，，表示； (2)设，，证明：是定值． （1）直接法:结合图形的特征，把待求向量放在三角形或平行四边形中，结合向量的三角形法则或平行四边形法则及向量共线定理用已知向量表示未知向量； （2）方程法: 当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则或平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程 【跟踪练习】 练习1．如图，中，AB边的中点为P，重心为G．在外任取一