1.4 空间向量的应用-【优鸿】高中选择性必修第一册数学同步提分练(人教A版)

高中数学·选择性必修第一册 难度1 第⼀章 空间向量与⽴体⼏何 空间向量的应用 1. 已知点 ，则面ABC的法向量可以是（　　）. A. B. C. D. 2. 正四棱锥 的高 ，底边长  ，则异面直线BD和SC之间的距离 为（　　）． A. B. C. D. 3. 已知 是各条棱长均等于a的正三棱柱，D是侧棱 的中点，点 到平 面 的距离为(    ). A. B. C. D. 4. 已知 三点不共线， 是平面 外任意一点，若由 确定的一点 与 三点共面，则 __________. 5. 已知棱长为1的正方体 中，E是 的中点，则直线AE与平面 所成角的正弦值为__________． 6. 设 分别是平面 的法向量，根据条件判断平面 的位置关系： . 7. 设 分别是平面 的法向量，根据条件判断平面 的位置关系： . 8. 设 分别是直线 的方向向量，根据条件判断直线 的位置关系： . 9. 如图，已知正方体 ，求证： ⊥平面  ． 10. 如图，已知 分别为四面体 的面 与面 的重心， 为 上一点， 且 .求证： 三点共线. 11. 如图， 的二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面 内，且都垂直于AB．已知 ，求CD的长． 12. 如图，在直三棱柱 中， ， ， ，点 是 的中点. (1)求异面直线 与 所成角的余弦值； (2)求平面 与平面 所成的锐二面角（是指不超过 的角）的余弦值. 参考答案 1 A 2 C 3 A 4 5 6 平⾯ ⊥平⾯ 7 平⾯ //平⾯ 8 直线 平⾏ 9 设正⽅体 的棱⻓为1
，以D为原点， 的⽅向分别 为x轴，y轴，z轴正⽅向建⽴空间直⻆坐标系 ，如图：
由图可知， ， ， ， ， ， ∴ ， ， . 设平⾯ 的法向量是 ， 则
， ∴ 令 ，则 ， ∴平⾯ 的法向量是 ∵ ∴ ， ∴ . ∴直线 ⊥平⾯ 10 取 的中点 ，连接 ，如图所⽰： ∵ 是 的重⼼， ∴ . ∴ . 由图可得 同理可得 . ∵ ， ∴ . 由图可得 ∴ ， ∴ 、 、 三点共线. 11 12 （1） （2） 高中数学·选择性必修第一册 难度2 第⼀章 空间向量与⽴体⼏何 空间向量的应用 1. 在正方形ABCD中， ，沿对角线AC将正方形ABCD折成一个直二面角 ，则点B到直线CD的距离为(    ). A. B. C. D. 2. 在正方体 中，E为 的中点，则异面直线 和 间的距离 是________. 3. 在长方体 中， ， ， .以 为原点，以 为空间的一个单位正交基底，建立空间直角坐标系 ，求平 面 的一个法向量. 4. 如图所示，已知 中，从平面 外一点O引向量 ， .求证： (1)四点 共面； (2)平面 平面 . 5. 如图，已知空间四边形OABC中， ， ，求证： . 6. 如图，在四棱柱 中，侧棱 ， ， ， ， ，且点 和 分别为 ， 的中点.求证： 平面 . 7. 如图，四棱锥 中， 平面 ， 为 的中点， 为 的中点， ， ， ，连接 并延长交 于 . (1)求证： 平面 ； (2)求平面 与平面 的夹角的余弦值. 8. 如图，四边形 为菱形， ， ， 是平面 同一侧的两点， 平面 ， 平面 ， ， . (1)证明：平面 平面 . (2)求直线 与直线 所成角的余弦值. 参考答案 1 B 2 3 4 （1） . ∵ ∴ ， ∴ ，其中 ∴ ∴四点 共⾯. （2） ， ∴ . ∴ . ， ∴ . ∴ . ∵ ， 平⾯ ， ， ， 平⾯ ， ， ∴平⾯ 平⾯ . 5 由图可知， . ∵ ， . ∵ ， ∴ . 6 ∵侧棱
平⾯ ， 底⾯ ， ∴ . ∵ ， ∴ ， ， 两两互相垂直. 以 为原点建⽴空间直⻆坐标系，如图：
∵ ， ， ， ∴ ， ， ， 取 的中点 ，连接 ，如图： ∵ ， ∴ . ⼜ ， ∴ ， . 故 . ⼜ ， 则 . ∵点 是 的中点，且 ， ∴点 的坐标是 ，即 . ∵点 为 的中点，且 ， ∴ . ∴ . ∵侧棱
底⾯ ， ∴ 为平⾯ 的⼀个法向量. ∵ ∴ . ∴ . ∴ . ∵ 是平⾯ 的法向量， 平⾯ ， ∴ 平⾯ . 7 （1）∵ ， ∴ . ∵ ， ∴ ， ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴
. ∵ ，（对顶⻆相等） ∴ . ∵ ， 为 的中点， ∴ . ⼜∵ ， ∴ 为 的中点， . ∵ 为 的中点， 为 的中点， ∴ . ∵ 平⾯ ， 平⾯ ， ∴ ， ∴ . ∵ ， ， 平⾯ ， 平⾯ ， ， ∴ 平⾯ . （2） 8 （1）如图，连接 ，设 与 相交于点 ，连接 ， ∵四边形 是菱形， ， ∴ ， ， 设 ， ， ∵