第4章 数列 单元测试-【优鸿】高中选择性必修第二册数学同步提分练(人教A版)

高中数学·选择性必修第二册 第四章 数列 第四章 单元测试 1. 已知各项均为正数的等比数列 的前 项和为 ，且 ，则 （    ）. A. B. C. D. 2. 若四个正数a，b，c，d成等差数列，x是a和d的等差中项，y是b和c的正的等比中项，则x 和y的大小关系是(　 　). A. B. C. D. 3. 设 是首项为正数的等比数列，公比为 ，则“ ”是“对任意的正整数 ， ”的（    ）. A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 首项为 的等差数列，从第10项开始为正数，则公差d的取值范围是（　　）. A. B. C. D. 5. 等差数列 的公差不为 ， ，则 （    ）. A. B. C. D. 6. 记方程①： ，方程②： ，方程③： ，其中 是正实数．当 成等比数列时，下列选项中能推出方程③无实根 的是（　　）. A. 方程①有实根，且②无实根 B. 方程①有实根，且②有实根 C. 方程①无实根，且②无实根 D. 方程①无实根，且②有实根 7. 在等比数列 中， ，则 等于(    ). A. 或 B. 或 C. D. 8. 公比为 的等比数列 的各项都是正数，且 ，则 (    ). A. B. C. D. 9. 在数列 中， 对所有的正整数n都成立且 ，则 等于(    ). A. B. C. D. 10. 记 为等差数列 的前 项和，若 ， ，求     . 11. 已知正数 ， 的等差中项为 ，则 的最小值为    . 12. 已知正项等比数列 的前 项和为 ，且 ，则 的最 小值为    . 13. 已知数列 ： 那么数列 的前n项和 为__________. 14. 选菜问题：学校餐厅每天供应 名学生用餐，每星期一有A、B两种菜可供选择. 调查 资料表明，凡是在这星期一选A种菜的，下星期一会有 改选B种菜；而选B种菜的， 下星期一会有 改选A种菜. 用 分别表示在第n个星期选A的人数和选B的人数， 如果 ，求 . 15. 已知 是等比数列 的前 项和， 成等差数列，且 . (1)求数列 的通项公式； (2)是否存在正整数n，使得 ？若存在，求出符合条件的所有n的集合；若不存 在，说明理由. 16. 已知等差数列 的公差为 ，且关于 的不等式 的解集为 . (1)求数列 的通项公式； (2)若 ，求出数列 的前 项和 . 17. 等比数列 的各项均为正数，且 (1)求数列 的通项公式. (2)设 求数列 的前n项和. 18. 已知数列 的前 项和 （其中 ），且 的最大值为 . (1)确定常数 ，并求 ； (2)求数列 的前 项和 . 19. 函数 ，定义数列 如下： 是过两点 的直线 与 轴交点的横坐标. (1)证明： ； (2)求数列 的通项公式. 20. 已知数列 的首项为1， 为数列 的前n项和， ，其中 . (1)若 成等差数列，求数列 的通项公式. (2)设双曲线 的离心率为 ，且 ，证明： . 参考答案 1 C 2 A 3 B 4 D 5 A 6 A 7 D 8 C 9 B 10 11 12 13 14 15 （1） （2）存在； 16 （1） （2） 17 （1） （2） 18 （1） （2） 19 （1）∵ ， ， ∴ . ∴ . ∵直线 过两点 、 ， ∴直线 的两点式⽅程为： ， 整理，得： . ∵ 是直线 与 轴交点的横坐标， ∴ . ⼜∵ ， ∴ . 假设当 时， 成⽴， 当 时： ∵ 过点 和 ， ∴直线 的⽅程为： 整理，得 . ∵ 是直线 与 轴交点的横坐标， ∵ ， ∵ ， ∴ . ∴ . ∵ ， . ∵ ， 故当 时， . 综上可知，对于任意的正整数n，都有 . （2） 20 （1） （2） 由双曲线 知 ， ∵双曲线的离⼼率为 ， ∴ . 由第⼀问知 ， ∴ . ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ . ∵ ， ∴ ； ⼜∵ ， ∴ ， ⼜∵ ， ∴ . ∴ . ∵ 可以看成以1为⾸项， 为公⽐的等⽐数列的前n项和， ∴ . 因此 .