4.4数学归纳法 难度3-【优鸿】高中选择性必修第二册数学同步提分练(人教A版)

高中数学·选择性必修第二册 难度3 第四章 数列 数学归纳法 1. 已知 ，由不等式 启发我们可以得到 推广结论：  ，则 ________. 2. 设 ，证明： .  3. 已知递增等差数列 满足： ，且 成等比数列. (1)求数列 的通项公式 ； (2)若不等式 对任意 恒成 立，试猜想出实数m的最小值，并证明. 参考答案 1 2 由题意可知：
对于不等式 ， 当 时： ∴当 时，不等式 成⽴. 假设当 时，不等式 成⽴，则有： .
当 时，不等式 成⽴，即： . 当 时： 因此，当 时，不等式 成⽴. 当 时，不等式 成⽴，即： ， 当 时： 因此，当 时不等式 成⽴. 综上可知，对于任意 ，不等式 都成⽴. 3 （1） （2） 将不等式 ， 两边同时乘以
得： 则不等式 对任意 恒成⽴， 即
对任意 恒成⽴， ∴求实数m的最⼩值，即求 的最⼤值. 令 . ∵ 作差可得 ， ∴推测当 时， 取得最⼤值，即 的最⼤值为 ， ∴猜测m的最⼩值为 . ， 即 . 当 时， 不等式左边为 ，满⾜ . ∴当 时，不等式成⽴. 假设当 时， 成⽴， 当 时： . ∴当 时，不等式成⽴. 综上可知，对于任意
， 恒成⽴， 即 的最⼤值为 ， 的最⼩值为 .