4.4数学归纳法 难度2-【优鸿】高中选择性必修第二册数学同步提分练(人教A版)

高中数学·选择性必修第二册 难度2 第四章 数列 数学归纳法 1. 设数列 满足 ， . (1)计算 ， ，猜想 的通项公式并加以证明； (2)求数列 的前 项和 . 2. 设数列 的前n项和为 ，且 (1)求 ； (2)求 的表达式. 3. 是否存在常数 ，使等式 对一切自然数n都成立，并证明你的结论. 参考答案 1 （1）∵ ， ， ∴ ， . ∴ . 猜想：数列 是公差为 的等差数列， . 证明：当 时，由 ，得 ，满⾜ ； 假设当 时， 成⽴， 则当 时， ，满⾜ . ∴ 成⽴. （2） 2 （1） （2） 3 设存在常数 使得等式 对⼀切⾃然数n都成⽴， 则令 得： 化简得：

② ①得： ， ， 将 代⼊①得： 当 时，则 ， 当 时，则 . 当 或 时等式的右端均为 ，因此，只需证明 等式： 对⼀切⾃然数n都成⽴. ① ② 当 时： 等式左边 ， 等式右边 ， 左边 右边， ∴当 时等式成⽴. 假设当 时等式成⽴，则有：
当 时， 即当 时，等式成⽴. 综上可知：对⼀切⾃然数n，等式 都成⽴.