4.3等比数列 难度3-【优鸿】高中选择性必修第二册数学同步提分练(人教A版)

高中数学·选择性必修第二册 难度3 第四章 数列 等比数列 1. 设 是公比为 的等比数列，则“ ”是“ 为递增数列”的（     ）. A. 充分必要条件 B. 充分而不必要条件 C. 既不充分也不必要条件 D. 必要而不充分条件 2. 已知正项数列 满足 ，设 ，则数列 的前 项和为（    ）. A. B. C. D. 3. 已知 为等比数列，下面结论中正确的是（　　   ）. A. B. 若 ，则   C. D. 若 ，则     4. 记 为等比数列 的前 项和.若 ， ，则 （    ）. A. B. C. D. 5. 已知 ， ，若 ， ， 依次成等比数列，则 的最小值为    . 6. 已知 ，点 在函数 的图象上，其中 则数列 是__________. 7. 设等比数列 满足 ，则 的最大值为________. 8. 等比数列 的各项均为正数，且 ，则 ________. 9. 在 中，角 的对边分别为 .角 成等差数列. (1)求 的值； (2)边 成等比数列，求 的值. 10. 已知无穷数列 的各项都是复数，记它的前 项和为 ，且 ，求数列 的通项公式. 11. 已知等比数列 中 ，求  的取值范围. 12. 是否存在一个等比数列 ，并且使其满足下列三个条件： ，且 ； ； 至少存在一个 ，使 依次成等差数列，若存在，请写出数列的通项公式；若不存 在，请说明理由. 13. 已知数列 满足 . (1)证明 是等比数列，并求 的通项公式. (2)证明： . 14. 已知数列 的前n项和 ， 是等差数列，且 . (1)求数列 的通项公式. (2)令 ，求数列 的前n项和 . 15. 设数列 满足 ，且 (1)求 的通项公式； (2)设 ，记 ，证明： . 16. 已知数列 的前 项和是 ，满足 . (1)求数列 的通项 及前 项和 ； (2)若数列 满足 （ ），求数列 的前 项和 ； (3)对（ ）中的 ，若对任意的 ，恒有 成立，求实数 的取值 范围. 且 参考答案 1 C 2 D 3 A 4 B 5 6 ⾸项为 ，公⽐为2的等⽐数列
7 8 9 （1） （2） 10 11 12 假设存在满⾜题中所给的三个条件的等⽐数列 ， ∵数列 是等⽐数列， ∴ . ∵ ， ∴ . ∵ ， ∴ . ∴ ， 即 . 解得 或 . 若 ，则 ，此时 ，与题设条件 不符，舍去. 若 ，则 ，此时 ，满⾜题设条件 . ∴ ， . 设公⽐为q， ， ∴ ， 得 . ∴等⽐数列的通项公式 . ∵ 依次成等差数列， ∴ . ∵等⽐数列的通项公式 ， ∵ ， 令 ， ∴ . 即 ， ， ⼜ ， ∴ ， 即 ， ， . ⼜∵题中要求 ， ∴不存在满⾜条件的等⽐数列. 13 （1） （2）∵ ， ∴ . ∵当 时， . ∴ ， ， ， . ∴ ，即 .
∴ 令 ， ∴数列 是⾸项为1，公⽐为 的等⽐数列. ∴ . ∴ 成⽴. 14 （1） （2） 15 （1） （2）∵ ∴ ∵ ∵ ∴ ∵ ∵ 16 （1） ； （2） （3）