第1章平面向量及其应用章末小结 课件-2023-2024学年高一下学期数学湘教版（2019）必修第二册

第1章 平面向量及其应用 第1章章末小结 1 知识导图 2 知识导图 3 知识导图 4 题型1 向量的线性运算 例1 （1）（2022年新高考全国Ⅰ卷）在中，点在边上， .记 ，，则 ( ) . A. B. C. D. B 题型探究 5 （2）如图,在平行四边形中,点,分别满足,,与 交于点 ,设,则 __. 题型探究 6 [解析] （1） （2）设是上除点外的另一个三等分点,连接,连接交于点,则 . 在中,是边,中线的交点,故是的重心, 结合可知 . 由于是的中点,故,所以. 题型探究 7 小结 向量线性运算求解策略 （1）向量是一个有“形”的几何量,因此在进行向量线性运算时,一定要结合图形,这是研 究平面向量的重要方法与技巧. （2）字符表示下的线性运算的常用技巧：首尾相接用加法的三角形法则,如 ;共起点两个向量作差用减法的几何意义,如 . 题型探究 8 题型2 平面向量数量积的运算 例2（1） （2023年新高考全国Ⅰ卷）已知向量, ，若 ，则( ) . D A. B. C. D. 题型探究 9 （2）（2023年全国乙卷）正方形的边长是2，是的中点，则 ( ) . A. B.3 C. D.5 B [解析] （1）因为,,所以 , .因为,所以 ， 所以,整理得 .故选D. （2）以为坐标原点,,的方向分别为轴、 轴的正方向建立平面直角坐标系（图 略），则，，，则， ， 所以 ，故选B. 题型探究 10 小结 向量数量积的求解策略 （1）利用数量积的定义、运算律求解. （2）借助零向量，即围成一个封闭图形且首尾相接的向量的和为零向量,再进行 向量的移项以及平方等变形,求解数量积. （3）借助平行向量与垂直向量，即将向量拆分,把待求的数量积转化为有垂直关 系或平行关系的向量的数量积,借助若,则或若，则 解 决问题. （4）建立坐标系,利用坐标运算求解数量积. 题型探究 11 题型3 平面向量中的最值问题 例3 如图,正的边长为2,是线段上一点,过点作直线 的垂线, 交线段的延长线于点,则 的最大值为__. 方法指导 设 ，根据向量的线性运算及数量积定义, 即可求得 的最大值. 题型探究 12 [解析] 设 , 则 . 因为,所以 . 由向量的数量积定义可知， , , . 题型探究 13 根据向量线性运算可知, . 故 ， 所以当时,取得最大值,最大值为 . 题型探究 小结 求解向量数量积最值问题的两种思路：（1）直接利用数量积公式得出代数式,依据 代数式求最值;（2）建立平面直角坐标系,通过坐标运算得出函数式,转化为求函数的最值. 题型探究 15 题型4 向量的模、夹角的问题 例4（1） （2022年新高考全国Ⅱ卷）已知向量，， ，若 ，，，则 ( ) . C A. B. C.5 D.6 题型探究 16 （2）（2023年新高考全国Ⅱ卷）已知向量，满足， ， 则 ____. [解析] （1）由已知得，，，，故 ，解得 .故选C. （2）由，得，即 ， ① 由，得 ， 整理得 ， 结合①，得，整理得，所以 . 题型探究 17 小结 解决向量模的问题的常用策略 （1）应用公式：|(其中 . （2）应用三角形法则或平行四边形法则. （3）应用向量不等式 . （4）利用模的平方 . 求向量夹角利用数量积公式即可. 题型探究 18 题型5 利用正弦定理、余弦定理解三角形 例5 （2023年新高考全国Ⅱ卷）记的内角,,的对边分别为,,，已知 的面积为，为的中点，且 . （1）若，求 ； （2）若，求, . 题型探究 19 [解析] （1）因为为 的中点， 所以 , 解得 , 所以, . 因为，所以 . 在中，由余弦定理，得 ， 所以 . 题型探究 20 在中，由余弦定理，得 ， 所以 . 在中，由余弦定理，得 ， 所以 . 所以 . 题型探究 （2）因为为的中点，所以 . 在与中，由余弦定理，得 ， 整理得 ， 得，所以 . 在中，由余弦定理得 ， 所以 ， 解得 . 则由解得 . 题型探究 22 小结 关于解三角形问题,一般要用到三角形内角和定理、正弦定理、余弦定理及其他 有关三角形的性质,常见的三角变换方法和原则都适用.同时,要注意“三统一”,即“统一角、 统一函数、统一结构”,这是使问题获得解决的突破口. 题型探究 23 题型6 正弦定理、余弦定理的应用 例6 如图，甲船以每小时30海里的速度向正北方向航行，乙船按 固定方向匀速直线航行，当甲船位于 处时，乙船位于甲船的北 偏西 方向的处，此时两船相距 海里；当甲船航行20 分钟到达处时，乙船航行到甲船的北偏西