4.5 课时3 空间几何体的表面积与体积课件-2023-2024学年高一数学湘教版（2019）必修第二册

第4章 立体几何初步 4.5 几种简单几何体的表面积和体积 1 课时3 空间几何体的表面积与体积 2 1.进一步掌握空间几何体的表面积、体积公式.（直观想象、数学运算） 2.进一步掌握组合体的表面积、体积计算.（直观想象、数学运算） 3.进一步掌握与球有关的表面积、体积的计算.（直观想象、数学运算） 学习目标 3 1.若长方体相邻三个面的面积分别为，， ，则长方体的体积等于( ) . A A. B.6 C. D.36 [解析] 设长方体的长、宽、高分别为，，，则不妨设， ， ，则体积 . 自主预习 4 2.一个圆柱内挖去一个圆锥，圆锥的顶点是圆柱底面的圆心，圆锥的底面是圆柱的另 一个底面，圆柱的母线长为6，底面半径为2，则该组合体的表面积为( ) . D A. B. C. D. [解析] 因为圆柱的母线长为6，底面半径为2，所以圆锥的母线长为 ， 所以该组合体的表面积为 . 自主预习 5 3.一平面截球的球面所得圆的半径为1，球心到截面的距离为 ，则此球的体积为 ( ) . B A. B. C. D. [解析] 如图，设截面圆的圆心为， 为截面圆上任一点， 则， ， ，即球的半径为 ， . 自主预习 6 4.圆柱形容器的内壁底半径是 ，有一个实心铁球浸没于容器的水中.若取出这个铁 球，测得容器的水面下降了，则这个铁球的表面积为______ . [解析] 设实心铁球的半径为，则，得 ，故这个铁球的表面 积 . 自主预习 7 探究1 组合体的表面积与体积 例1 一个容器的盖子由一个正四棱台和一个球焊接而成，球在正四棱台上底面的正中 间，球的半径为，正四棱台的上、下底面边长分别为和，斜高为 取 . （1）求这个盖子的表面积和体积（用 表示，焊接处对面积的影响忽略不计）； （2）若，给盖子涂色时所用的涂料每可以涂 ，计算给100个这样 的盖子涂色大约需要多少千克涂料.（内部不涂色，结果精确到 ） 合作探究 8 方法指导（1）根据给定条件，利用球和棱台的表面积公式，以及它们的体积公式求解 作答；（2）由（1）的结论，将 代入计算出每个盖子的表面积，进而求出100 个盖子的面积，即可求出需涂料的重量. 合作探究 9 [解析] （1）因为球的半径为，所以该球的表面积为，该球的体积 ， 又正四棱台的上、下底面边长分别为和 ，所以该正四棱台的上、下底面面积分 别为和，而正四棱台的斜高为 ，则正四棱台的侧面积为 ， 所以该正四棱台的表面积为 ， 又正四棱台的高为 ， 所以正四棱台的体积 ， 所以容器盖子的表面积 ， 则容器盖子的体积 . 合作探究 10 （2）由（1）知，该容器盖子的表面积，当 时， . 所以100个这样的盖子大约需涂料 . 合作探究 11 &1& 求组合体的表面积和体积，首先要认清组合体是由哪些简单几何体构成的. 组合体的表面积是可见的围成组合体的所有面的面积之和，但不一定是组成组合体的 几个简单几何体的表面积之和，组合体的体积是构成组合体的几个简单组合体的体积 之和（或差）. 合作探究 12 现需要设计一个仓库，仓库由上、下两部分组成，如图所示，上 部分为正四棱锥 ，下部分为正四棱柱 ，正四棱柱的高是正四棱锥的高 的4倍. （1）若， ，则仓库（含上、下两部分）的容 积是多少？ （2）若上部分正四棱锥的侧棱长为，则当 为多少时，下 部分正四棱柱的侧面积最大，最大侧面积是多少？ 合作探究 13 [解析] （1），， . 仓库的容积 . （2）若正四棱锥的侧棱长为，设 ， 则，， . 正四棱柱侧面积 ， ， 当且仅当，即时，等号成立， . 当时，正四棱柱的侧面积最大，最大值为 . 合作探究 14 探究2 旋转体的表面积与体积 例2 如图所示，在直角梯形内挖去一个扇形， 恰好是梯形的下底 边的中点，将所得平面图形绕直线 旋转一圈. （1）请画出所得几何体并说明所得的几何体的结构特征； （2）求所得几何体的表面积和体积. 方法指导（1）直接由旋转体的结构特征得出结论；（2）结合图中数据计算该组合体的表面积和体积. 合作探究 15 [解析] （1）根据题意知，将所得平面图形绕直线 旋转一圈后所 得几何体是上部分是圆锥,下部分是圆柱挖去一个半径等于圆柱体 高的半球的组合体. （2）该几何体的表面积 ，几何体的体积 . 合作探究 16 &2& 解决旋转体的表面积与体积问题时，要利用好旋转体的轴截面及侧面 展开图，借助于平面几何知识，求得所需几何要素，代入公式求解即可. 合作探究 17 如图，在等腰中，，是 的中点， 绕所在的直线逆时针旋转至, ，求 旋