上海市曹杨第二中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试卷

2023-2024学年上海市曹杨二中高二年级下学期 3月月考数学试卷 2024.3 一、填空题 (本大题共有12小题，满分54分) 考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分. 1.直线的倾斜角为______. 2.已知为正整数，若，则______. 3.过点的圆的切线方程为______. 4.已知，设直线，，若，则______. 5.已知长方体的8个顶点都在球的表面上，若，则球的表面积为______. 6.将3个相同的红球和3个相同的白球放入3个不同的盒子中，每个盒子都放2个球，则不同的放法共有______种.（结果用数值表示） 7.若，则______. 8.如图，已知三棱柱的体积为4，则四面体的体积为______. 9.6位学生排成一排拍照，要求甲乙不相邻，且丙丁相邻，则不同的排法共有______种.（结果用数值表示） 10.天上有四颗星星，地上有四个孩子，每个孩子随机向一颗星星许愿。如果一颗星星只收到一个孩子的愿望，那么该愿望成真；如果一颗星星收到至少两个孩子的愿望，那么向这颗星星许愿的所有孩子的愿望都无法成真。则至少有两个孩子愿望成真的概率为______.（结果用最简分数表示） 11.已知、分别是椭圆的左、右焦点，过的直线与椭圆交于、两点，若，则椭圆的离心率为______. 12.在三棱锥中，，且，则二面角的余弦值的最小值为______. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13.已知为正整数，则（ ） A. B. C. D. 14.下列命题中正确的是（ ） （A）三点确定一个平面 （B）垂直于同一直线的两条直线平行 （C）若直线与平面上的无数条直线都垂直，则直线 （D）若是三条直线，且与都相交，则直线共面. 15.方程所表示的曲线是（ ） 16.某人设计一项单人游戏，规则如下：先将一棋子放在如图所示正方形（边长为2个单位）的顶点处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的单位，如果掷出的点数为，2，，，则棋子就按逆时针方向行走个单位，一直循环下去．则某人抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点处的所有不同走法共有　　 A.21 B.24 C.27 D.30 三、解答题 (本大题满分78分) 本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 17.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1，2，3，这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为，，． （1）用卡片上的数字列出所有可能的结果； （2）求“抽取的卡片上的数字满足”的概率； （3）求“抽取的卡片上的数字，，不完全相同”的概率 18.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面是等边三角形，且 （1）求证：平面平面 （2）求点到平面的距离 19.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） （1）若在的二项展开式中，第3项的系数是第2项的系数的4倍，求展开式中的常数项 （2）求的二项展开式中系数最大的项 20.（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分） 已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于两点 （1）设直线的方程为，求线段的长 （2）设直线经过点，若以线段为直径的圆经过点，求直线的方程 （3）设，若存在经过点的直线，使得在抛物线上存在一点，满足，求的取值范围 21.（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分） 如图，已知椭圆的两个焦点为，，且，的双曲线的顶点，双曲线的一条渐近线方程为，设为该双曲线上异于顶点的任意一点，直线，的斜率分别为，，且直线和与椭圆的交点分别为，和，． （1）求双曲线的标准方程； （2）证明：直线，的斜率之积为定值； （3）求的取值范围． 第1页(共5页) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年上海市曹杨二中高二年级下学期 3月月考数学试卷 2024.3 一、填空题 (本大题共有12小题，满分54分) 考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分. 1.直线的倾斜角为______. 【答案】 【解析】由，可得直线的斜率为， 设倾斜角为， 则，． 2.已知为正整数，若，则______. 【答案】2 【解析】由题意知 3