1.1 向量 学案-2023-2024学年高一下学期数学湘教版（2019）必修第二册

1.1 向量 【学习目标】 1.了解向量的物理实际背景,能正确进行平面向量的几何表示.(数学抽象) 2.理解相等向量、相反向量的基本概念.(数学抽象、直观想象) 【自主预习】 1.在日常生活中有很多量,如面积、质量、速度、位移等,这些量有什么区别? 2.对既有大小又有方向的量,如何形象、直观地表示出来? 3.“向量就是有向线段,有向线段就是向量”的说法对吗? 4.向量的模可以为0吗?可以为1吗?可以为负数吗? 1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)两个向量,长度大的向量较大. (　　) (2)力、速度和质量都是向量. (　　) (3)两个有共同起点且长度相等的向量,它们的终点相同. (　　) 2.如图,在矩形ABCD中,可以用同一条有向线段表示的向量是(　　). A.和 B.和 C.和 D.和 3.如图,在1 cm×3 cm的方格纸中,以A为始点,其他格点为终点,可以写出　　　　个不同的向量.  【合作探究】 探究1 向量的基本要素及几何表示　 　　问题1:某人在天安门广场的正中央向北前进100米,再左转90°后前进100米,再左转90°后前进100米,再左转90°后前进100米,请用向量画出他从出发点到达终点的示意图. 　　问题2:如果他每次不是左转90°,而是每次左转60°后前进100米,他能回到出发点吗? 问题3:上述问题中具有方向的线段叫什么? 问题4:我们知道有向线段具有方向,它有大小吗? 问题5:既有大小又有方向的量,在数学中称为什么? 新知生成 向量的概念与表示 (1)既有　大小　又有　方向　的量称为向量.  (2)向量的表示:向量用粗体字母(印刷)或在字母上方标箭头(书写)来表示,如向量a,b,F,,,.把只有　大小　没有　方向　的量称为数量,如年龄、身高、长度、面积、体积、质量等都是数量.  (3)向量的模:向量a的大小,也就是向量a的长度,称为a的模,记作|a|. 新知运用 例1　一辆汽车从A点出发向西行驶了100千米到达B点,然后改变方向,向北偏西40°方向行驶了200千米到达C点,最后又改变方向,向东行驶了100千米到达D点.请作出,,. 方法指导　作图既要考虑向量的模的大小,又要考虑其方向和起点,为此应先建立坐标系,再根据行驶方向确定有关向量. 【方法总结】　　准确画出向量的方法是先确定向量的起点,再确定向量的方向,然后根据向量的大小确定向量的终点. 已知飞机从A地向北偏东30°方向飞行2000 km到达B地,再从B地向南偏东30°方向飞行2000 km到达C地,再从C地向西南方向飞行1000 km到达D地. (1)作出向量,,,. (2)D地在A地的什么方向?D地距A地多远? . 探究2 相等向量与相反向量 　　小明沿着篮球场的边缘,从A点走到B点,又从B点走到A点. 问题1:上述问题中,向量和向量相等吗?若不相等,二者有什么关系? 问题2:如果小明在A处不动,那么向量的模是多少?的方向确定吗? 新知生成 1.相等向量:把方向相同、长度相等的向量称为相等向量. 2.相反向量:把长度相等、方向相反的向量a,b称为相反向量,记作b=-a.如果b=-a,那么同样也有a=-b. 3.零向量:如果向量a的大小|a|=0,就称向量a是零向量,记作0.约定:所有的零向量都相等. 新知运用 例2　如 图所示,四边形ABCD和ABDE都是平行四边形. (1)写出与向量相等的向量; (2)若||=3,求向量的模. 方法指导　根据已知条件,观察图形,凡是与向量长度相等且方向相同的向量,就是其相等向量.利用向量证明E,D,C三点共线,就可将向量的模转化为线段EC的长度. 【方法总结】　　(1)在图形背景下找相等向量,只要根据相等向量的定义,观察图形可直观地得出结论.在逻辑分析中,要注意相等向量的传递性. (2)一般地,||+||≥||,当且仅当与同向时取等号. 如图,在方格纸中,取两个格子的格点(A,B,C,D,E,F)为起点和终点作向量,写出满足下列条件的向量: 　　(1)与相等的向量; (2)的相反向量; (3)与的模相等的向量. 【随堂检测】 1.下列说法正确的是(　　). A.零向量没有大小,没有方向 B.零向量是唯一没有方向的向量 C.零向量的长度为0 D.任意两个模相同的向量方向相同 2.若某人向正东方向行进100米后,再向正南方向行进100米,则此人位移的方向是(　　).　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.南偏东60° B.南偏东45° C.南偏东30° D.南偏东15° 3.设O是正方形ABCD的中心,则向量,,,是(　　). A.相等向量 B.相反向量 C.有相同起点的向量 D.模相等的向量 4.如图所示,小正方形的边长