4.3 课时2 异面直线 课件-2023-2024学年高一下学期数学湘教版（2019）必修第二册

第4章 立体几何初步 4.3 直线与直线、直线与平面的位置关系 1 课时2 异面直线 2 1.掌握异面直线的另一种判断方法.（逻辑推理、直观想象） 2.理解异面直线所成角的定义，会求两异面直线所成的角.（逻辑推理、直观想象） 学习目标 3 1.怎么判断两直线异面？ [答案] 判断两直线异面的两种方法：（1）两条直线既不相交也不平行；（2）两条直线不同在任何一个平面内. 2.异面直线所成的角的定义是什么？ [答案] 对于两条异面直线和，经过空间中任一点，作直线,，则把与 所成的锐角（或直角）叫作异面直线所成的角. 自主预习 4 3.异面直线所成的角的范围是什么？ [答案] . 4.什么是异面直线垂直？ [答案] 如果两条异面直线所成的角为 ，则称这两条异面直线互相垂直. 自主预习 5 1.判断下列结论是否正确.（正确的打“√”，错误的打“×”） （1）异面直线所成的角的大小与点的位置有关，即 点位置不同时，该角的大小也 不同.( ) × （2）如果两条平行直线中的一条与第三条直线垂直，那么另一条直线也与第三条直线 垂直.( ) √ （3）空间中两条异面直线所成的角 的取值范围是 .( ) × 自主预习 6 2.空间中垂直于同一条直线的两条直线( ) . D A.平行 B.相交 C.异面 D.以上均有可能 [解析] 如图所示，，，, 相交； ，，, 平行； ，，, 互为异面直线.故选D. 自主预习 7 3.若 ，直线，与为异面直线，则和 所成的角的大小为 ( ) . B A. B. C. D. [解析] 因为 ，又异面直线所成的角为锐角或直角， 所以直线与所成的角为 . 自主预习 8 探究1 判断两直线异面的方法 问题1： 没有公共点的两条直线一定是异面直线吗？ [答案] 不一定，没有公共点的两条直线有可能是平行直线. 问题2： 直线在平面 内，直线在平面 内，请问直线， 是异面直线吗？ [答案] 不一定，也可能平行或相交. 合作探究 9 新知生成 异面直线的判定定理 与平面相交的直线与该平面内不过该交点的直线是异面直线. 合作探究 10 新知运用 例1 如图所示，已知不共面的直线，，相交于点，， 是 直线上的两点，，分别是直线，上的点.求证：与 是 异面直线. 方法指导 直接应用点和直线的位置关系，证明两条直线与 没有公共点，也可证明与 是异面直线. 合作探究 11 [解析] ， 由，确定一个平面，设为 . ，， ， ， ，且 ， . 又，，不共面， ， ，与 是异面直线. 合作探究 12 &1& 判定空间两条直线是异面直线的方法：（1）利用定义；（2）证明两 直线既不平行也不相交；（3）判定定理：平面外一点与平面内一点 的连线和平面 内不经过该点 的直线是异面直线. 合作探究 13 如图，若是所在平面外一点，，， 为垂 足，为的中点.求证：与 为异面直线. [解析] ，，为垂足，是 的中点， 点与点 不重合. 平面， 平面， 平面， ， 由异面直线的判定定理可知，直线与 为异面直线. 合作探究 14 探究2 异面直线所成的角 问题1： 为了表示异面直线， 不共面的特点，作图时，通常用什么衬托？你能用图 表示一下吗？ [答案] 通常用一个或两个平面来衬托，如图所示. ① ② ③ 合作探究 15 问题2： 能否找到一个平面，使得上述的， 两条直线都在这个平面内？ [答案] 找不到一个平面使得直线， 在同一平面内. 问题3： 在如图所示的正方体中，直线与直线，直线 与直线 都是异面直线，但是它们的位置不同，如何描述这种差异呢？ [答案] 结合平面两直线所成的角，可以通过定义异面直线所成的角刻画它们的差异. 合作探究 16 问题4： 通过平移可以将异面直线所成的角转化成平面中两直线所成的角.那么平移时， 所选的点 的位置对它们所成的角的大小有没有影响，为什么？ [答案] 点 的位置是任意的，对异面直线所成的角的大小没有影响. 问题5： 点 的位置选在哪里比较合适呢？ [答案] 一般情况下，我们会将点 选在两条直线中的一条上. 合作探究 17 新知生成 异面直线所成的角 （1）定义：已知两条异面直线，，经过空间______一点作直线， ， 则异面直线与所成的角就是直线与 所成的______（或______）. （2）范围： .特别地，当 时，与 互相垂直，记作______. 任意 锐角 直角 合作探究 18 新知运用 例2 如图，在空间四边形中，，， 分别是 ，的中点，若，求异面直线， 所成角的大小． 合作探究 19 [解析] 如图，取的中点，连接，.因为，,