3.2 复数的四则运算 课件-2023-2024学年高一下学期数学湘教版（2019）必修第二册

第3章 复数 3.2 复数的四则运算 1 #b# 1.掌握复数代数形式的加、减、乘、除运算法则.（逻辑推理、数学运算） #b# 2.能正确进行复数代数形式的四则运算.（逻辑推理、数学运算） #b# 3.掌握复数范围内一元二次方程的求根公式，并会在复数范围内解一元二次方程.（逻 辑推理、数学运算） 学习目标 2 1.多项式的加、减运算实质是合并同类项，类比思考：复数与 如 何加减？ [答案] 类比多项式合并同类项，让两个复数的实部与实部、虚部与虚部分别相加减， 即， . 2.两个实数之和仍是一个实数，两个复数之和仍是一个复数，那么两个虚数之和仍是一个虚数吗？ [答案] 不一定，如 . 自主预习 3 3.复数的加法满足交换律和结合律吗？ [答案] 满足. 4.如何在复数范围内求方程的解？ [答案] 利用复数相等的定义求解． 自主预习 4 1.判断下列结论是否正确.（正确的打“√”，错误的打“×”） （1）两个虚数的和或差可能是实数.( ) √ （2）在进行复数的加法时，实部与实部相加得实部，虚部与虚部相加得虚部.( ) √ （3）复数与复数相加减后结果只能是实数.( ) × （4）复数的加法不可以推广到多个复数相加的情形.( ) × 2.已知复数，则 ( ) . D A.0 B. C.6 D. [解析] ， . 自主预习 5 3.复数 的值为( ) . D A. B. C. D. [解析] .故选D. 自主预习 6 4.是虚数单位，复数 ______. [解析] . 自主预习 7 探究1 复数的加减运算 随着生产发展的需要，我们将数的范围扩展到了复数.运算是“数”的主要功能，复数不同于实数，它是由实部、虚部两部分复合构造而成的整体. 问题1： 复数如何进行加、减运算呢？ [答案] 类比向量加、减的坐标运算进行运算. 合作探究 8 问题2： 类比多项式的加、减运算，想一想复数又如何进行加、减法运算？ [答案] 两个复数相加（减）就是把实部与实部，虚部与虚部分别相加（减），即 . 问题3： 两个复数的和或差得到的结果是什么？ [答案] 结果仍然是唯一的复数. 问题4： 复数的加法法则可以推广吗？ [答案] 可以推广到多个复数相加的情形. 合作探究 9 新知生成 1.复数的加、减运算 设， 是任意两个复数， 则， . 2.复数加法的交换律和结合律 复数的加法满足交换律和结合律，即对任意复数,,，有（1） ， （2） . 合作探究 10 新知运用 例1 （1） ______. （2）已知复数满足，则 ______. 方法指导（1）根据复数的加法与减法法则计算.（2）设 ，根据复 数相等的要求计算或把等式看作 的方程，通过移项求解. 合作探究 11 [解析] （1） . （2）（法一）设，因为 ， 所以，即且 ， 解得，，所以 . （法二）因为，所以 . 合作探究 12 &1& 复数代数形式的加（减）法运算技巧：复数与复数相加（减），相当于多 项式加（减）法的合并同类项，将两个复数的实部与实部相加（减），虚部与虚部相 加（减）. 合作探究 13 已知,,设 ,且 ,求， . . 因为,且， , 所以解得 所以 , . 合作探究 14 探究2 复数的乘法与乘方 问题1： 我们知道复数的加减类似于多项式加减，试想复数相乘类似什么呢？ [答案] 复数相乘类似于多项式相乘. 问题2： 复数的乘法与多项式的乘法有何不同？ [答案] 复数的乘法与多项式乘法是类似的，有一点不同即必须在所得结果中把 换成 ，再把实部、虚部分别合并. 问题3： ，正确吗？ [答案] 不正确.例如，，而 . 合作探究 15 新知生成 1.复数的乘法 （1）复数的乘法规定 . （2）复数乘法的运算律 对任意复数，， ，有 交换律 结合律 乘法对加法的分配律 合作探究 16 2.复数的乘方 对任意复数,,及正整数, ，有 ，， . 规定.特别地，,,, ， ,,,，其中 . 合作探究 17 新知运用 例2 （1）若，则 的虚部是( ) . A. B. C. D. （2） ______. B 方法指导（1）根据复数乘法可得，根据复数的运算结合 的性质分析运算， 即可得结果.（2）利用 的周期性、复数的四则运算计算求解. 合作探究 18 [解析] （1） ， ， 的虚部为 . （2）原式 . 合作探究 19 &2& 两个复数代数形式乘法的一般方法：复数的乘法可以按多项式的乘法 法则进行，注意选用恰当的乘法公式进行简便运算，例如平方差公式、完全平方