2.3 课时2 和差化积与积化和差公式 课件-2023-2024学年高一下学期数学湘教版（2019）必修第二册

第2章 三角恒等变换 2.3 简单的三角恒等变换 1 课时2 和差化积与积化和差公式 2 #b# 1.能根据公式和 进行恒等变换，推导出积化和差与和差化积公式.（逻辑 推理、数学运算） #b# 2.了解三角变换在解数学问题时所起的作用，进一步体会三角变换的特点，提高推 理、运算能力.（逻辑推理、数学运算） 学习目标 3 前面我们学习了两角和与差的正弦、余弦公式，利用它们对三角函数式进行恒等 变形.可以达到化简、求值或证明的目的，观察对比四个公式，我们发现它们都是由 ， ， ， 构成.据此，我们能否直接表示出 ， ， ， ？下面来研究这个问题. 1.积化和差与和差化积公式的推导中运用了什么数学思法方法？ [答案] 积化和差公式的推导用了“解方程组”的思想，和差化积公式的推导用了“换元”的思想. 自主预习 4 2.积化和差与和差化积公式有什么特点？ [答案] 理解为三角恒等变换中的因式分解. 3.积化和差公式是什么？ [答案] ； ； ； . 自主预习 5 4.和差化积公式是什么？ [答案] ； ； ； . 自主预习 6 1.判断下列结论是否正确.（正确的打“√”，错误的打“×”） （1） .( ) × （2） .( ) × （3） .( ) √ 2. ( ) . B A. B. C. D. [解析] .故选B． 自主预习 7 3. ( ) . C A. B. C. D. [解析] .故选C． 自主预习 8 4.化简：（1） ______________； （2） ___________． [解析] （1） ． （2） ． 自主预习 9 探究1 和差化积公式 问题1： 如何化简 ？ [答案] 把展开整理得原式 . 问题2： 对任意两个角， 应该等于什么？ [答案] . 合作探究 10 问题3： 和差化积公式的适用条件是什么？ [答案] 只有系数绝对值相同的同名函数的和与差，才能直接运用公式化成积的形式，若是一个正弦与一个余弦的和或差，则要先用诱导公式化成同名函数后再运用公式. 合作探究 11 新知生成 和差化积公式 设，，则， ，则 ； ； ； . 合作探究 12 新知运用 例1 求 的值. [解析] 原式 . 合作探究 13 &1& 和差化积公式应用时的注意事项 （1）在应用和差化积公式时，必须是一次同名三角函数方可施行，若是异名，必须用 诱导公式化为同名，若是高次函数，必须用降幂公式降为一次. （2）根据实际问题选用公式时，应从以下几个方面考虑：①运用公式之后，能否出现 特殊角；②运用公式之后，能否提取公因式，能否约分，能否合并或消项. （3）为了能够把三角函数式化为积的形式，有时需要把某些常数当作三角函数值才能 应用公式，如 . 合作探究 14 求 的值. [解析] 原式 . 合作探究 15 探究2 积化和差公式 问题1： 如何运用已知的公式证明 ?你还能得 出什么结论？ [答案] 因为 ， ， 两式相加，得 ， 所以 ， 两式相减，得 . 合作探究 16 问题2： 利用两角和差的余弦，你能求出 , 的表达式吗？ [答案] 回忆两角和与差的三角函数公式： ， ， 通过两式相加减，得 ， . 合作探究 17 新知生成 积化和差公式 ； ； ； . 合作探究 18 新知运用 例2 求值：（1） ； （2） . 方法指导 利用积化和差公式化简求值，注意角的变换，尽量出现特殊角. 合作探究 19 [解析] （1） . 合作探究 20 （2）原式 . 合作探究 21 &2& 积化和差公式的关键是正确地选用公式，以便把非特殊角的三角函数 值相约或相消，从而化为特殊角的三角函数. 合作探究 22 在中，若 ，求 的取值范围. [解析] 由题意，得 . ， ， ， ，的取值范围是 . 合作探究 23 探究3 三角变换的简单应用 例3 如图所示，要把半径为，圆心角为 的扇形木料截成矩形， 应怎样截取，才能使矩形 的面积最大? 方法指导 根据三角函数的边角关系，结合三角恒等变换将求矩形面积转化为构造正弦型三角函数，再利用三角函数的性质求得最大值即可. 合作探究 24 [解析] 如图，作的平分线分别交,于点,，连接 ， 设 ,, ， 在中， , ， 在中，，所以 ， 则 . 合作探究 25 ， 由,，得, ，