2.1.1 两角和与差的余弦公式 课件-2023-2024学年高一下学期数学湘教版（2019）必修第二册

第2章 三角恒等变换 2.1 两角和与差的三角函数 1 课时1 两角和与差的余弦公式 2 #b# 1.了解两角和与差的余弦公式的推导过程.（逻辑推理） #b# 2.熟记两角和与差的余弦公式的形式及符号特征，并能利用该公式进行求值、计算. （数学运算） 学习目标 3 1.式子 是否正确？ [答案] 等式正确. 2.等式 正确吗？你能举例吗？ [答案] 不正确，如 . 自主预习 4 3.如何用向量法推导两角差的余弦公式？ [答案] 在平面直角坐标系中，取角 , ，在这两个角的终边上分别取两个单位向量 ,,则 就是与 的夹角. 与的数量积为, ， ， 当时，, ， 所以 . 自主预习 5 1.判断下列结论是否正确.（正确的打“√”，错误的打“×”） （1）当 ，时， .( ) × （2）对于任意实数 ， ， 都不成立.( ) × （3） .( ) √ 2. ( ) . A A.0 B.1 C. D. [解析] 原式 ． 自主预习 6 3.已知，，，则 的值为( ) . D A. B. C. D. [解析] 因为,，，所以 ， 所以 ． 自主预习 7 4. __． [解析] 原式 ． 自主预习 8 探究1 两角差的余弦公式 如图，已知在平面直角坐标系内的任意两点 ， . 合作探究 9 问题1： 如何求 的长度？ [答案] ， ， 由勾股定理可得 . 问题2： 如图所示，求解各点的坐标. [答案] ， ， . 合作探究 10 问题3： 与 有什么关系？ [答案] 连接，（图略）.若把扇形绕着点旋转 角，则点， 分别与点 ，重合.根据圆的旋转对称性可知，与重合，从而 ，所以 . 合作探究 11 问题4： 如何表示， 的长度？可以得到什么结论？ [答案] 由两点间的距离公式得， ， ， 因为，所以 ， 所以 ， 当 时，容易证明上式仍然成立， 所以对于任意角 ， 都有 成立. 合作探究 12 新知生成 两角差的余弦公式 ______________________. 合作探究 13 新知运用 一、给角求值 例1 计算：（1） ； （2） . 方法指导 （1）将 用两个特殊角之差表示，再正用公式求值；（2）逆用公式求解. 合作探究 14 [解析] （1）（法一）原式 . （法二）原式 . （2）原式 . 合作探究 15 &1& 利用公式 求值的思路 （1）求非特殊角的余弦值时可将角转化为特殊角的差，正用公式直接求值. （2）如果函数名称不满足公式特点，可利用诱导公式调整角和函数名称，构造公式的 结构形式然后逆用公式求值. 合作探究 16 二、给值求值 例2 已知，，则 ______. 方法指导 根据两角差的余弦公式求解. [解析] , , . 合作探究 17 &2& 公式应用的两个关注点 （1）公式的正用是比较容易的，关键在于“拆角”的技巧. （2）公式的逆用需要学生逆向思维的灵活性，特别是变形应用，这就需要学生具有较 强的观察能力和熟练的运算能力. 合作探究 18 1.计算： _ __. [解析] . 合作探究 19 2. __. [解析] . 合作探究 20 3.（1）已知，，求 的值； （2）已知 ， 为锐角，且，，求 的值. 合作探究 21 [解析] （1），且 ， 又，， ， ， ， . 合作探究 22 （2），， ， 由，得 ， 又， ， . 合作探究 23 探究2 两角和的余弦公式 问题1： 已知两个角 ， 的正弦、余弦 , , , ，如何求 的余弦值？ [答案] 用 代替 ，可得到两角和的余弦公式： . 问题2： 观察两角和与差的余弦公式，如何准确地记忆它们？ [答案] 可用口诀“余余正正，加减相反”记忆公式. 合作探究 24 新知生成 两角和的余弦公式： . 合作探究 25 新知运用 例3 已知锐角 , 满足,，求 的值. 方法指导 首先利用同角三角函数求 ， 的值，再求 的值，最后利 用角的范围求 的值. [解析] , 为锐角且, ， ， ， . 由，得 ， 又， 为锐角， . 合作探究 26 &3& （1）这类问题的求解，关键环节有两点：①求出所求角的某种三角函数 值；②确定角的范围，一旦做好这两个环节，结合三角函数的性质与图象即可求解. （2）确定应用所求角的哪种三角函数值，要根据具体题目，结合所给角的范围确定. 合作探究 27 已知，， ， ，求 的值