1.6 课时4 解三角形的应用举例 课件-2023-2024学年高一下学期数学湘教版（2019）必修第二册

第1章 平面向量及其应用 1.6 解三角形 1 课时4 解三角形的应用举例 2 #b# 1.能够运用正弦、余弦定理解决与方位角有关的航海问题.（数学建模、数学运算） #b# 2.会利用数学建模的思想，结合解三角形的知识，解决距离、高度、角度有关的实际 应用问题.（数学建模、数学运算） 学习目标 3 1.如图所示，设，两点在河的两岸，一测量者与 在河的同侧， 在所在的河岸边先确定一点，测出，的距离为 ， ， 后，可以计算出， 两点的距离 为( ) . A A. B. C. D. 自主预习 4 [解析] 在中， ， 由，得 . 自主预习 5 2.如图，要测出山上一座天文台的高，从山腰 处测得 ，天文台最高处的仰角为 ，天文台底部 的仰角为 ，则天文台 的高为( ) . B A. B. C. D. [解析] 由题图可得 ， ， 故 . 自主预习 6 3.一船以的速度向东行驶，船在处看到一灯塔在北偏东 的方向上，行 驶后，船到达处，看到这个灯塔在北偏东 的方向上，这时船与灯塔的距离为 ______ . [解析] 如图所示， ， ， ， 在中， ， . 故船与灯塔的距离为 . 自主预习 7 探究1 测量距离问题 问题1： 如图所示，,两点在河的两岸，在点 的一侧， 需测出哪些量，可以求出, 两点间的距离？ [答案] 测量者在点的同侧,在所在的河岸边选定一点 ，测 出的距离,的大小, 的大小三个量. 合作探究 8 问题2： 如图所示，, 两点都在河的对岸（不可到达），结 合图形，需测出哪些量，可以求出, 两点间的距离？ [答案] 结合图形，需要测出的长，的大小， 的 大小，就可以计算出的长，同理可以计算出 的长，再算 出的长.故只需测量出图中的长，角 ， ， ， 的大小. 合作探究 9 新知生成 1.基线的概念与选择原则 （1）定义：在测量上，根据测量需要适当确定的______叫作基线. （2）性质：在测量过程中，要根据实际需要选取合适的__________，使测量具有较高 的精确度.一般来说，基线越长，测量的精确度越____. 2.测量不可到达的两点间的距离，若是其中一点可以到达，利用一个三角形即可解决， 一般用正弦定理；若两点均不可到达，则需用三个三角形才能解决，一般正、余弦定 理都要用到. 线段 基线长度 高 合作探究 10 新知运用 例1 已知，两地之间隔着一个山冈，如图，现选择另一点 ，测 得，， ，则， 两点之间的距离为 _____ . [解析] 由余弦定理，得， . 合作探究 11 &1& 三角形中与距离有关的问题的求解策略 （1）解决三角形中与距离有关的问题，若在一个三角形中， 则直接利用正弦定理、余弦定理求解即可；若所求的线段在多个三角形中，则要 根据条件选择适当的三角形，再利用正弦定理、余弦定理求解. （2）解决三角形中与距离有关的问题的关键是转化为求三角形中的边，分析所解 三角形中已知哪些元素，还需要求出哪些元素，灵活应用正弦定理、余弦定理来解决. 合作探究 12 学校体育馆的人字屋架的形状为等腰三角形，如图，测得 的长度 为， ，则其跨度 的长为( ) . D A. B. C. D. [解析] 由题意知， ， 所以 ， 由正弦定理得 ， 即 . 合作探究 13 探究2 测量高度问题 问题： 小明要测量底部不能到达的某塔的高度.他选定了离地面高度为 的一个地 点，他测得塔底的俯角为 ，塔顶的仰角为 ，由此估测该塔的高约为多少？ （精确到 ） [答案] 设人的位置为，塔底为，塔顶为，过作的垂线，垂足为 （图略）， 则 , ,, , 所以，故该塔的高约为 . 合作探究 14 新知生成 1.仰角和俯角：与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视 线在水平视线上方时叫______，目标视线在水平视线下方时叫______（如图所示）. 仰角 俯角 合作探究 15 2.视角：从眼睛的中心向物体两端所引的两条直线的______，如图所示，视角 指 的是观察该物体的两端视线张开的角度. 夹角 合作探究 16 新知运用 例2 如图所示，为了测量某竖直建筑物 的高度，在此建筑物的同一 侧且与此建筑物底部在同一水平面上，有相距的， 两个观测点， 并在，两点处测得建筑物顶部的仰角分别为 和 ，且 ，求此建筑物的高度. 方法指导 由题意分析可得，，在 中利用余弦定理运算求 解. 合作探究 17 [解析] 由题意可得，在中，由 ，可得 . 在中，由 ，可得 . 在中，由余弦定理得 ， 即，整理得 , 解得或 （舍去）， 所以此建筑物的高度为 . 合作探究 18 &2&