1.7 平面向量的应用举例 课件-2023-2024学年高一下学期数学湘教版（2019）必修第二册

第1章 平面向量及其应用 1.7 平面向量的应用举例 1 1.能运用向量的知识解决一些简单的平面几何问题.（直观想象、数学运算） 2.掌握两种基本方法——选择基向量法和建坐标系法.（直观想象、数学运算） 3.能用向量知识处理一些简单的物理问题.（数学抽象、数学运算） 学习目标 2 1.利用向量可以解决哪些常见的几何问题？ [答案] 可以解决平行、垂直、长度以及夹角问题. 2.向量在物理问题中的应用有哪些？ [答案] （1）由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与合成与向量的 减法和加法相似，故可以用向量的知识来解决.（2）物理学中的功是一个标量，即为 力与位移的数量积，即（为与 的夹角）. 自主预习 3 1.在中，已知，，，则边的中线 的长是( ) . B A. B. C. D. [解析] 由题意得的中点为,，,，所以 . 自主预习 4 2.当两人提起重力大小为的旅行包时，两人用力方向的夹角为 ，用力大小都为 ， 若，则 的值为( ) . D A. B. C. D. [解析] 作，， （图略）， 则 ， 当时， 为正三角形， 所以 ，从而 . 自主预习 5 3.已知一个物体在大小为的力的作用下产生的位移的大小为，且与 的夹 角为 ，则力所做的功_____ . 300 [解析] ， . 自主预习 6 探究1 平面向量在几何中的应用 如图所示,水渠横断面是四边形, ,且 . 问题1： 如何判断这个四边形的形状？ [答案] 利用向量共线和向量模的定义，证明该四边形是等腰梯形. 合作探究 7 问题2： 向量运算与几何中的结论“若,则,且, 所在直线平行或重合”相 类比,你有什么体会？ [答案] 全等、相似、长度、夹角等几何性质都可以由向量的线性运算及数量积表示出来.例如,向量的模对应着几何中的长度. 问题3： 把直角三角形两直角边与斜边的数量关系类比到矩形中,你能发现矩形两对角线长度与两邻边长度之间的关系吗？ [答案] 矩形两对角线的平方和等于四边的平方和. 合作探究 8 新知生成 用向量方法解决平面几何问题的步骤： （1）用基向量表示待证或待求问题，然后利用数量的运算解决问题. （2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等. （3）再把运算结果“翻译”成几何关系. 合作探究 9 新知运用 一、证明平行、垂直问题 例1 在直角梯形中,, , ,求证： . 方法指导 可以选用基向量,利用向量运算证明,也可以建系，利用坐标运算解决. 合作探究 10 [解析] （法一）由题意可设,, ,则 ， , . , ， ， ， 即 . , ,即 . （法二）如图,建立平面直角坐标系,设,则,, , ， 合作探究 11 &1& 用向量法解决平面几何问题的两种方法 （1）几何法：选取适当的基（基中的向量尽量已知模或夹角），将题中涉及的向量用 基表示，利用向量的运算法则、运算律或性质计算. （2）坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的长度、垂直、 平行等问题转化为代数运算. 合作探究 12 如图，正方形的边长为，是的中点，是 的中点，求证： . [解析] ， 而,， ， ，即 . 合作探究 13 二、解决向量中的最值问题 例2 如图所示，在矩形中，，动点 在以点 为圆心且与相切的圆上，求 的最大值. 方法指导 先根据条件求得点到的距离 ，再把所求转化为 ，即可求得答案. 合作探究 14 [解析] 在矩形中，，动点在以点 为圆心 且与 相切的圆上， 连接，,所以，如图所示，设点到 的距离为，则 ， 则 ， 其中， ， 当且仅当与 同向时，等号成立， 所以 ， 即的最大值为 . 合作探究 15 已知在平行四边形中，,,，点在线段 上（不包含 端点），求 的取值范围. 合作探究 16 [解析] ，， ， ，即，解得 . 以为原点，以所在的直线为轴，以的垂线为 轴， 建立如图所示的平面直角坐标系， ，，， . 设，, ， . 设，在上单调递减，在 上单调递增， ，，则的取值范围是 . 合作探究 17 探究2 平面向量在物理中的应用 这是小明拍他叔叔在拉单杠时的图片. 合作探究 18 问题1： 小明的叔叔感觉两臂的夹角越大,拉起来越费力,这是为什么？ [答案] 如图,可知, ,故夹角越大越 费力. 合作探究 19 问题2： 向量的运算、速度、加速度、位移有什么联系？ [答案] 速度、加速度与位移的合成与分解,实质上是向量的加、减法运算,而运动的叠加也用到向量的合成. 合作探究 20 新知生成 向量在物理中的应用 （1）物理问题中常见的向量有______