1.6 课时1 余弦定理 课件-2023-2024学年高一下学期数学湘教版（2019）必修第二册

第1章 平面向量及其应用 1.6 解三角形 1 课时1 余弦定理 2 1.了解向量法证明余弦定理的推导过程.（数学抽象、逻辑推理） #b# 2.掌握余弦定理及其推论，并能用其解决一些简单的三角形度量问题.（逻辑推理、数 学运算） #b# 3.能应用余弦定理判断三角形的形状.（逻辑推理、数学运算） 学习目标 3 1.在中，若 ，公式会变成什么？ [答案] 公式会变成 ，即勾股定理. 2.在中，“ ” “ ”成立吗？ [答案] 不成立，应是 . 自主预习 4 3.在三角形中，大边对大角，小边对小角，正确吗？ [答案] 正确. 4.利用余弦定理可以解决哪两类三角形问题？ [答案] （1）已知三边，求各角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角. 自主预习 5 1.判断下列结论是否正确.（正确的打“√”，错误的打“×”） （1）在中，已知两边及其夹角时， 不一定唯一.( ) × （2）在 中，三边一角任意给出三个，可求其余一个.( ) √ （3）在中，若，则角 为直角.( ) √ （4）在中，若，则角 为钝角.( ) × 自主预习 6 2.在中，已知，， ，则 ( ) . D A. B. C. D. [解析] 由余弦定理得 . 故选D. 自主预习 7 3.的内角，，的对边分别为，，，已知，， ，则 ( ) . D A. B. C.2 D.3 [解析] 由余弦定理得，解得或 （舍去）.故选D. 自主预习 8 探究1 余弦定理 问题1： 给定两边及其夹角的三角形是唯一的吗？为什么？你能用数学知识解释一下吗？ [答案] 因为两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等 ，所以给定两边及其夹 角的三角形是唯一的. 合作探究 9 问题2： 已知三角形的两边,及它们的夹角，如何求第三边 ？ [答案] 因为涉及三角形的两边长和它们的夹角，所以可以考虑用向量的数量积来求， 即 . 问题3： 余弦定理的适用范围、结构特征是什么？ [答案] 适用范围：余弦定理对任意的三角形都成立.结构特征：“平方”“夹角”“余弦”. 合作探究 10 新知生成 1.余弦定理 三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的 积的两倍，即__________________，__________________， ___________________. 2.余弦定理的推论 _ ________，_________， _________. 3.一般地，把三角形的三个角,,和它们的对边,, 叫作三角形的元素，已知三角形 的几个元素求其他元素的过程叫作__________. 解三角形 合作探究 11 新知运用 例1 在中，角,,的对边分别为，，，若 ， 则角 的值为( ) . D A. B. C.或 D.或 方法指导 由及可联想到余弦定理的推论，即利用 来解答. [解析] 将化为 .由余弦定理得 ,.又 ，或 . 合作探究 12 &1& 对余弦定理的理解 （1）适用范围：余弦定理对任意的三角形都成立. （2）结构特征：“平方”“夹角”“余弦”. （3）揭示的规律：余弦定理指的是三角形中三条边与其中一个角的余弦之间的关 系式，它描述了任意三角形中边与角的一种数量关系. （4）主要功能：实现三角形中边角关系的互化. 合作探究 13 在中，角,,的对边,,的长分别为3，4，6，则 的值为___. [解析] 原式 . 合作探究 14 探究2 余弦定理及其推论的应用 问题： 已知三角形的两边及其夹角，三角形的其他元素是否唯一确定？利用余弦定理可解决哪几类三角形问题？ [答案] 由余弦定理可知,不妨设，边和其夹角已知，则， 唯一，，因为 ，所以唯一，从而 也唯一，所以三角形其 他元素唯一确定.根据余弦定理及其推论，可用来解决以下问题： （1）已知三角形的 任意两边及它们的夹角,求第三边；（2）已知三角形的三条边,求三个角. 合作探究 15 新知生成 应用余弦定理及其推论可解决两类解三角形的问题：一类是已知______________ 解三角形，另一类是已知______解三角形. 两边及其夹角 三边 合作探究 16 新知运用 例2 在中，已知，， ，解此三角形. 方法指导 代入余弦定理的推论进行解答. [解析] 由余弦定理的推论得 ， . 同理可求得 ，故 . 合作探究 17 &2& 中常用的结论 （1）， . （2）大边对大角，反之亦然. （3）任意两边之和大于第三边，任意两边之差小