1.4 课时1 向量的分解及坐标表示 课件-2023-2024学年高一下学期数学湘教版（2019）必修第二册

第1章 平面向量及其应用 1.4 向量的分解与坐标表示 1 课时1 向量的分解及坐标表示 2 1.理解平面向量基本定理及其意义.（数学抽象） 2.会用基表示平面向量.（数学抽象、逻辑推理） 3.了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示.（数学抽象、逻辑推理） 合作探究 3 1.如果，是两个不共线的确定向量，那么与，在同一平面内的任一向量 能否 用， 表示？依据是什么？ [答案] 能.依据是数乘向量和平行四边形法则. 2.如果，是共线向量，那么向量能否用， 表示？为什么？ [答案] 不一定，当与 共线时可以表示，否则不能表示. 合作探究 4 3.零向量能否作为基中的向量？为什么？ [答案] 不能，因为零向量与任何向量都是共线的. 4.设单位向量,的夹角, ，非零向量的模，且, ，则 在{, }下的坐标是什么？ [答案] . 合作探究 5 1.判断下列结论是否正确.（正确的打“√”，错误的打“×”） （1）平面内任意两个向量都可以作为平面内所有向量的一组基.( ) × （2） 可以作为基.( ) × （3）平面向量基本定理中基的选取是唯一的.( ) × （4）若，是同一平面内两个不共线向量，则（， 为实数）可以表 示该平面内所有向量.( ) √ 合作探究 6 2.设， 是同一平面内的两个向量，则( ) . D A.， 一定平行 B.， 是该平面的一个基 C.对该平面内的任一向量，都有 D.若，不共线，则对该平面内的任一向量，都有 [解析] D选项符合平面向量基本定理，其他三个选项均不正确. 合作探究 7 3.（多选题）设是平行四边形 两条对角线的交点，下列向量组中可作为该平面 其他向量基的是( ) . AC A.与 B.与 C.与 D.与 [解析] 基中的向量不共线，故A，C正确. 合作探究 8 4.已知向量，不共线，实数，满足 ，则 的值为___. 3 [解析] ，不共线， 由平面向量基本定理可得故 . 合作探究 9 探究1 平面向量基本定理 如图（1），设，是同一平面内两个不共线的向量，是这一平面内与， 都不共线的向量，如图（2），在平面内任取一点，作,, . （1） （2） 合作探究 10 问题1： 上图中将按， 的方向分解，你有什么发现？ [答案] 如图， . 问题2： 若向量与或共线，还能用 表示吗？ [答案] 能，当向量与共线时， ; 当向量与共线时， . 合作探究 11 问题3： 当是零向量时，还能用 表示吗？ [答案] 能， . 问题4： 设，是同一平面内两个不共线的向量，在中，, 是否唯一？ [答案] 假设,则 , 即， 所以，且,即 ，且,所以, 唯一. 合作探究 12 新知生成 1.平面向量基本定理：设，是平面上两个不共线向量，则（1）平面上每个向量 都可以分解为，的实数倍之和，即，其中, 是实数. （2）实数，由唯一决定，也就是若 ,则 ， . 2.基与坐标：我们称不共线向量，组成平面上的一组基{， ，分解式 中的系数,组成的有序数组,称为 在这组基下的坐标. 合作探究 13 新知运用 一、对基的理解 例1 （多选题）设， 是平面内所有向量的一组基，则下列四组向量中，能作为 基的是( ) . ACD A.和 B.和 C.和 D.和 [解析] 选项B中，，与共线， 不能 作为基； 选项A，C，D中两向量均不共线，可以作为基. 合作探究 14 &1& 考查两个向量是否能构成基，主要看两向量是否不共线.此外，一个平面的 基一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这个基唯一线性表示出来. 合作探究 15 若向量，不共线，则，，试判断{， }能否作为基. [解析] 设存在实数 ，使 ， 则，即 ， 因为向量，不共线，所以，这样的 是不存在的， 所以，不共线，故{， }能作为基. 合作探究 16 二、用基表示向量 例2 如图所示，在中，是的中点，且，与相交于点 ，设 ，，求在基{， }下的坐标. 方法指导 用基表示平面向量，首先要充分利用向量加减法的三角形法则和平行四边形法则，然后根据坐标定义求解. 合作探究 17 [解析] 易得， ， 由，，三点共线知存在实数 ， 满足 . 由，，三点共线知存在实数 ， 满足 ， 所以 ， 因为{，}为基，所以解得 所以，在基{，}下的坐标为 . 合作探究 18 &2& 将两个不共线的向量作为基表示其他向量，基本方法有两种：一种是运用 向量的线性运算法则对所求向量不断进行转化，直至能用基表示为止；另一种是通过 列向量方程或方程组的形式，利用基表示向量的唯一性求解. 合作