2024年九年级数学中考复习：圆与四边形的综合训练

2024年九年级数学中考复习：圆与四边形的综合训练 1．已知：如图，⊙O1与⊙O2相交于点A和点B，AC∥O1O2，交⊙O1于点C，⊙O1的半径为5，⊙O2的半径为，AB=6． 求： (1)弦AC的长度； (2)四边形ACO1O2的面积． 2．如图，在四边形中，，以为直径作平分，动点P在左侧的半圆O上（P与点A，B均不重合）． (1)求证：是的切线； (2)记（1）中的切点为E，若，求的值． 3．如图，在平行四边形ABCD中，过A点作AE⊥BC于点E，过BC上一点F作FH⊥AB于点H，交AE于点K，连接AC．过F作FG⊥AC于点G，连接EG． (1)若AC＝BC＝15，AB＝3，求AE的长． (2)若KE＝BE，求证：AG+GF＝EG． 4．如图，四边形ABCD为⊙O的圆内接四边形，AC=AD，点B为的中点，点E为AC上一点，且，F为直径AG的延长线上一点，且∠FDG=∠FAD． (1)求证：DF是⊙O的切线； (2)若∠BCA=55°，∠BAC=15°，求∠F的度数； (3)若AC=AD=a，求的最大值（用含a的式子表示）． 5．如图，在△ABC的外接圆⊙O中，OB⊥AC交AC于点E．延长BE至点D，使得BE＝DE，连接AD，CD，其中CD与⊙O相交于点F，连接AF交BD于点G． (1)求证：四边形ABCD是菱形． (2)求证：AD＝AF． (3)若DG＝DF，求的值． 6．如图，四边形内接于，，． (1)求点到的距离； (2)求出弦所对的圆周角的度数． 7．如图，在平行四边形中，点为边上一点，以为圆心，为半径作恰好经过点，与边交于点，边所在直线与相切，切点为，连接，，若： （1）求证：为切线； （2）若，求半径． 8．如图，四边形内接于，，点在的延长线上，连接，，．    (1)求证：是的切线． (2)若，，，求的长． 9．如图，四边形内接于．    (1)求证：； (2)如图2，在线段上分别取点，连接并延长交于点，连接并延长，交于点，连接，当时，求证：； (3)在（2）的条件下，当时，若，求的长． 10．如图，四边形是⊙O的内接四边形，且对角线经过⊙O的圆心O，过点A作，与的延长线交于点E，且平分．    (1)求证：； (2)若⊙O的半径为5，，求的长． 11．如图，在平行四边形中，的平分线交边于点，，以点为圆心，长为半径作⊙O，分别交边、于点、．点在边上，交⊙O于点，为弧的中点． （1）求证：四边形为菱形； （2）已知，连接，当与⊙O相切时，求的长． 12．四边形是正方形，⊙O经过A，D两点且与边相切于点E，动点P在射线上且在点C的右侧，动点Q与点O位于射线的同侧，点M是的中点，连接，． (1)如图1，若点M在⊙O上，且．求证：是⊙O的切线； (2)如图2，连接交于点G，若，，，当点M在⊙O内时求的值（用含m的代数式表示），并直接写出m的取值范围． 13．如图，是四边形的外接圆，直径为10，过点D作，交 BA的延长线于点P，AD平分． （1）如图1，若AC是的直径，求证：PD与相切; （2）在（1）的条件下，若，求线段BC的长; （3）如图2，若，求的最大值． 14．如图，⊙O的半径为5，弦BC＝6，A为BC所对优弧上一动点，△ABC的外角平分线AP交⊙O于点P，直线AP与直线BC交于点E． （1）如图1，①求证：点P为的中点； ②求sin∠BAC的值； （2）如图2，若点A为的中点，求CE的长； （3）若△ABC为非锐角三角形，求PA•AE的最大值． 15．已知：上两个定点，和两个动点，，与交于点． （1）如图1，求证：． （2）如图2，若，是直径，求证：． （3）如图3，若，，的半径为4，求的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．（1）解：连接，过作于点D，设AB与交于点E，如图 由圆的对称性知：， 在中，由勾股定理得： ∵，AC∥O1O2 ∴ ∵ ∴ ∴四边形是平行四边形 ∵ ∴四边形是矩形，且AD=CD ∴， ∴AC=2AD=8 （2）解：在中，由勾股定理得： ∴ ∴， ∴四边形ACO1O2的面积为： 2．（1）证明：如图，过O作，垂足为E， ∵，， ∴， 又∵平分， ∴， ∵是的直径，是的半径， ∴是的半径， ∴是的切线． （2）解：如图，过点D作于点H，连接， ∵，， ∴∠BAD=∠ABH=∠BHD=90º ∴四边形是矩形， ∴， 又∵， 则， ∵，，均是的切线，A，B，E是切点， ∴，，， ∴在Rt中， ， 又∵， ∴， 在Rt中，由勾股定理得∶， ∵，，且， ∴平分， 即， ∵在中， ， ∴在Rt中，． 3．（1）解：∵AE⊥BC， ∴AE2＝AB2﹣BE2，AE2＝AC2﹣EC2， ∴AB2﹣BE2＝AC2﹣（BC﹣BE