极速提分法第8招与圆的切线有关的计算与证明的常见类型 练习课件 2023—2024学年华东师大版数学九年级下册

第8招 与圆的切线有关的计算与证明的常见类型 华师版 九年级下 例 典 例 剖 析 如图，已知BC是⊙O的直径，AC切⊙O于点C，AB交⊙O于点D，E为AC的中点，连结DE. 极速提分法 (1)若AD＝DB，OC＝5，求切线AC的长； 解题秘方：看到切线，就想作过切点的半径；看到直径，就想直径所对的圆周角是直角；看到切线的判定，就想： (1)若已知直线与圆的公共点，则采用判定定理法，其基本思路是：当已知点在圆上时，连结过这点的半径，证明这条半径与直线垂直即可，可简述为：有切点，连半径，证垂直； 极速提分法 解：连结CD，如图． ∵BC是⊙O的直径， ∴∠BDC＝90°，即CD⊥AB． ∵AD＝DB，∴AC＝BC＝2OC＝10. 极速提分法 (2)求证：DE是⊙O的切线． 解题秘方：若未知直线与圆有公共点，则采用数量关系法，其基本思路是：过圆心作直线的垂线段，证明垂线段的长等于圆的半径，可简述为：无切点，作垂线，证相等． 极速提分法 极速提分法 类型 1 证线段平行 分 类 训 练 1. 如图，已知⊙O的半径为5，PA是⊙O的一条切线，切点为A，连结PO并延长，交⊙O于点B，过点A作AC⊥PB交⊙O于点C，交PB于点D，连结BC．当∠P＝30°时， 极速提分法 (1)求弦AC的长； 【解】如图，连结OA. ∵PA是⊙O的切线，切点为A， ∴∠PAO＝90°. ∵∠P＝30°，∴∠AOD＝60°. 极速提分法 极速提分法 (2)求证：BC∥PA． 【证明】如图．∵AC⊥PB，∠P＝30°，∴∠PAC＝60°. ∵∠AOP＝60°，∴∠BOA＝120°，∴∠BCA＝60°， ∴∠PAC＝∠BCA，∴BC∥PA. 极速提分法 2.如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，连结AO并延长，交PB的延长线于点C，连结PO交⊙O于点D． 极速提分法 (1)求证：PO平分∠APC； 【证明】连结OB. ∵PA，PB是⊙O的切线，∴OA⊥AP，OB⊥BP. 又∵OA＝OB，OP＝OP，∴Rt△AOP≌Rt△BOP， ∴∠APO＝∠BPO，∴PO平分∠APC. 极速提分法 (2)连结DB，若∠C＝30°.求证：DB∥AC． 【解】如图．∵OA⊥AP，OB⊥BP， ∴∠CAP＝∠OBP＝90°. ∵∠C＝30°，∴∠APC＝90°－ ∠C＝90°－30°＝60°. 极速提分法 极速提分法 3. [2023·南阳十三中期末]如图，在△ABC中，AB＝AC．以AC为直径的⊙O交AB边于点D，过点B作BE∥AC，与过点C的切线交于点E，连结CD． 类型 2 求线段长度 极速提分法 (1)求证：CD＝CE； 【证明】∵AC是⊙O的直径，∴∠CDA＝90°， ∴CD⊥AB.∵CE切⊙O于点C，∴AC⊥CE. ∵BE∥AC，∴CE⊥BE，∠EBC＝∠ACB. ∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC，∴∠ABC＝∠EBC. ∵CD⊥AB，CE⊥BE，BC＝BC， ∴△BCD≌△BCE.∴CD＝CE. 极速提分法 (2)若AC＝5，BD＝2，求BC的长． 极速提分法 类型 3 求角的大小 4. 如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，弦AE的延长线与过点C的切线互相垂直，垂足为D，∠CAD＝35°，连结BC． 极速提分法 (1)求∠B的度数； 【解】如图，连结OC. ∵CD是⊙O的切线，∴OC⊥CD. ∵AE⊥CD，∴OC∥AE. ∴∠CAD＝∠OCA. 极速提分法 ∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC. ∴∠OAC＝∠CAD＝35°. ∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°. ∴∠OAC＋∠B＝90°. ∴∠B＝90°－∠OAC＝90°－35°＝55°. 极速提分法 极速提分法 5. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径作⊙O交AB于点D，E为BC的中点，连结DE并延长交AC的延长线于点F. 类型 4 求圆的直径(方程思想) 极速提分法 (1)求证：DE是⊙O的切线； 【证明】如图，连结OD，CD. ∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC＝90°，∴∠BDC＝90°. 极速提分法 极速提分法 (2)若CF＝2，DF＝4，求⊙O的直径． 【解】如图，设⊙O的半径为x，在Rt△ODF中，OD2＋DF2＝OF2，即x2＋42＝(x＋2)2， 解得x＝3， ∴⊙O的直径为6. 极速提分法 6. [2023·孝感]如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交BC于点D，DE是⊙O的切线，且DE⊥AC，垂足为E，延长CA交⊙O于点F. 类型 5 证明线段相等 极速提分法 (1)求证：AB＝AC； 【证明】如图，连结OD. ∵DE是⊙O的切线， ∴OD⊥DE. ∵DE⊥AC，∴OD∥AC.∴∠C＝∠ODB. ∵OD＝OB，∴∠B＝∠OD