极速提分法第5招垂径定理的四种应用技巧 练习课件 2023-2024学年华东师大版数学九年级下册

第5招 垂径定理的四种应用技巧 华师版 九年级下 应用 1 巧用垂径定理求点的坐标 分 类 训 练 1. 如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标是(10,0),点B的坐标是(8,0),点C,D在以OA为直径的半圆M上, 且四边形OCDB是平行四边形,求点C的坐标. 极速提分法 【解】如图,连结CM,作MN⊥CD于点N,CH⊥OA于点H. ∵四边形OCDB为平行四边形,B点的坐标是(8,0), ∴CD=OB=8,CN=MH,CH=MN. 极速提分法 极速提分法 应用 2 巧用垂径定理解决最值问题 2. 如图,AB,CD是半径为5的⊙O的两条弦,AB=8,CD=6,MN是直径,AB⊥MN于点E,CD⊥MN于点F,P为直线EF上的任意一点,求PA+PC的最小值. 极速提分法 极速提分法 【点思路】 本题运用了对称思想,将分散的线段转化为一条线段,然后运用勾股定理求出线段的长度. 极速提分法 3. 如图,已知⊙O是 ABC的外接圆,AB=AC=8,OA=5. 应用 3 巧用垂径定理求线段长 极速提分法 (1)求∠BAO的正弦值; 极速提分法 (2)求弦BC的长. 极速提分法 应用 4 巧用垂径定理解决实际问题(建模思想) 4. [2022 荆州]如图,将一个球放置在圆柱形玻璃瓶上,测得瓶高AB=20 cm,底面直径BC=12 cm,球的最高点到瓶底面的距离为32 cm,则球的半径为_cm.(玻璃瓶厚度忽略不计) 7.5 极速提分法 【点拨】 如图,设球心为O,连结AD,OA,过点O作OM⊥AD于点M. 极速提分法 极速提分法 又∵MN⊥CD,∴CN=DN=CD=4.∴MH=4. 易知OA=10,∴MO=MC=5. 在Rt MNC中,MN===3. ∴CH=3.又∵OH=OM-MH=5-4=1, ∴点C的坐标为(1,3). 【解】如图,易知点C关于直线MN的对称点为点D,连结AD,交MN于点P,易知此时PA+PC的值最小且PA+PC=AD.过点D作DH⊥AB于 点H,连结OA,OC.易知AE=4,CF= 3,由勾股定理易得OE=3,OF=4, ∴DH=EF=7.又∵AH=AE+EH= 4+3=7,∴AD=7,即PA+PC的最小值为7. 【解】如图,过点O作OD⊥AB,垂足为点D. ∵OD⊥AB,AB=8,∴AD=AB=4. ∵OA=5,∴OD=3. 在Rt AOD中,∴sin∠DAO=; 【解】延长AO交BC于点E. ∵AB=AC,∴点A在BC的垂直平分线上. ∵⊙O是 ABC的外接圆, ∴点O在BC的垂直平分线上, ∴AE垂直平分BC.在Rt ABE中, ∵AB=8,sin∠BAO=,∴BE=,∴BC=. 设球的半径为r cm, 由题意得AD=BC=12 cm, OM=32-20-r=(12-r)cm, 由垂径定理得AM=DM=AD=6 cm. 在Rt OAM中,由勾股定理得AM2+OM2=OA2, 即62+(12-r)2=r2,解得r=7.5.即球的半径为7.5 cm. $$