1.4.2 课时2 用空间向量研究距离、夹角问题 学案-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

课时2 用空间向量研究距离、夹角问题 学习目标 理解直线的方向向量、平面法向量的关系，能用向量方法求解异面直线所成角、线面角和面面角. 学习活动 目标：理解直线的方向向量、平面法向量的关系，能用向量方法求解异面直线所成角、线面角和面面角. 任务1：探索利用空间向量数量积求解直线与直线所成角问题. 如图，在棱长为1的正四面体（四个面都是正三角形）中，分别为的中点，求直线和夹角的余弦值. 问题1：这个问题的已知条件是什么？根据以往的经验，你打算通过什么途径将这个立体几何问题转化成向量问题？ 问题2：根据途径1，结合已知条件，思考建立怎样的基底能便于计算向量，的数量积？ 问题3：请你通过向量运算，求出向量，夹角的余弦值，进而求出直线和夹角的余弦值. 思考：回顾求解过程，归纳利用向量求空间直线夹角所成的角的余弦值的步骤. 【归纳总结】 任务2：探索空间向量求解直线与平面所成角的方法. 如图所示，设直线的方向向量是，平面α的法向量为，则由此讨论如何用向量和求解直线与平面的夹角θ的正弦值？ 【归纳总结】 任务3：探索空间向量求解平面与平面所成角的方法. 如图所示，类比已有的直线、平面所成角的定义，你认为应如何合理定义两个平面所成的角？进一步地，如何求平面和平面的夹角？ 【归纳总结】 问题1：如何求平面的法向量？ 问题2：平面与平面的夹角与二面角的区别和联系是什么？ 任务4：利用空间向量求解线面角，并归纳空间向量解决立体几何问题的方法. 如图，在直棱柱中，，，，为中点，分别在棱，上，，.求平面与平面夹角的余弦值. 思考：结合上述解题过程，空间向量解决立体几何问题的步骤是怎样的？对此你有怎样的体会？ 学习总结 任务：回答下列问题，构建知识导图. 1. 如何用向量法求空间中异面直线夹角？ 2. 如何用向量法求空间中线面角？ 3. 如何用空间向量求空间中面面角？ 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 课时2 用空间向量研究距离、夹角问题 学习目标 理解直线的方向向量、平面法向量的关系，能用向量方法求解异面直线所成角、线面角和面面角. 学习活动 目标：理解直线的方向向量、平面法向量的关系，能用向量方法求解异面直线所成角、线面角和面面角. 任务1：探索利用空间向量数量积求解直线与直线所成角问题. 如图，在棱长为1的正四面体（四个面都是正三角形）中，分别为的中点，求直线和夹角的余弦值. 问题1：这个问题的已知条件是什么？根据以往的经验，你打算通过什么途径将这个立体几何问题转化成向量问题？ 参考答案： 已知正四面体的棱长和棱与棱之间夹角，和是中线，其模长可求，与其他棱的夹角也是确定的， 途径1：通过建立一个基底，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面等元素，从而把立体几何问题转化成向量问题； 途径2：通过建立空间直角坐标系，用坐标表示问题中涉及的点、直线、平面等元素，从而把立体几何问题转化成向量问题.实际上，空间直角坐标系也是基底，是“特殊”的基底. 问题2：根据途径1，结合已知条件，思考建立怎样的基底能便于计算向量，的数量积？ 参考答案： 由已知条件可知，向量的模长已知，且它们之间的夹角也已知，故选择为基底并表示向量，便于计算数量积. 问题3：请你通过向量运算，求出向量，夹角的余弦值，进而求出直线和夹角的余弦值. 参考答案： 解：化为向量问题 以为基底，则， 设向量夹角为，则直线和夹角的余弦值为. 进行向量运算 ， 而都是正三角形，所以， 所以， ， 回到图形问题 所以，直线和夹角的余弦值为. 思考：回顾求解过程，归纳利用向量求空间直线夹角所成的角的余弦值的步骤. 【归纳总结】 将直线与直线所成的角转化成直线的方向向量的夹角，进而利用向量的数量积求解.也就是说，若异面直线所成的角为，其方向向量分别为，则 任务2：探索空间向量求解直线与平面所成角的方法. 如图所示，设直线的方向向量是，平面α的法向量为，则由此讨论如何用向量和求解直线与平面的夹角θ的正弦值？ 【归纳总结】 直线与平面所成角的一般表达式： ,其中，为直线的方向向量，为平面的法向量. 任务3：探索空间向量求解平面与平面所成角的方法. 如图所示，类比已有的直线、平面所成角的定义，你认为应如何合理定义两个平面所成的角？进一步地，如何求平面和平面的夹角？ 【归纳总结】 类似两条异面直线所成的角，若平面，的法向量分别是，，则平面和平面的夹角即为向量和的夹角或其补角.设平面和平面的夹角为，则 问题1：如何求平面的法向量？ 参考答案： 在平面内找两个不共线的向量和，设平面的法向量为，则 根据这个不定方程组，可以求得一个法向量. 问题2：平面与平面的夹角与二面角的区别和联系是什么？ 参考答案： 二面角的大小是指其两个半平面的张开程度，可以用其平面角的大