1.4.1.3 空间中直线、平面的垂直 学案-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019)选择性必修第一册

空间中直线、平面的垂直 学习目标 1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系. 2.能用向量方法证明直线与平面、平面与平面的垂直关系. 学习活动 目标一：能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系. 任务：结合空间中线线、线面、面面垂直的定义，探索用向量表述线线、线面、面面的垂直关系. 问题： 1. 如何用直线的方向向量表示两直线平行？ 2. 如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与这个平面的法向量之间是怎样的关系？如何用代数式表示？ 3. 如果两个平面相互垂直，那么用平面法向量如何表示这种位置关系？ 【归纳总结】 思考：若设，，，，，，则上述关系如何用坐标表示？ 【归纳总结】 练一练： 已知为直线l的方向向量，，分别为平面，的法向量不重合那么下列说法中： ； ； ； 正确的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 目标二：能用向量方法证明直线与平面、平面与平面的垂直关系. 任务1：用向量方法证明线面垂直. 在平行六面体中，AB=AD==1，，求证：直线⊥平面. 问题1：结合线面垂直的定义，如何证明直线⊥平面？ 问题2：根据平面向量基本定理，如何用向量表示面的任何一条直线？ 问题3：结合线面垂直的向量表示，证明直线⊥平面. 任务2：用向量方法证明面面垂直的判断定理. 问题1：面面垂直的判定定理是什么？ 问题2：如何将面面垂直的判定定理转化为数学符号语言？并用向量方法证明. 思考：如何利用向量证明空间直线、平面垂直问题？ 【归纳总结】 学习总结 任务：根据空间向量坐标表示的关键词，构建知识导图. 1.空间线线、线面、面面垂直如何用向量表示？ 2.如何利用向量法证明空间线线线、线面、面面垂直？ 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 空间中直线、平面的垂直 学习目标 1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系. 2.能用向量方法证明直线与平面、平面与平面的垂直关系. 学习活动 目标一：能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系. 任务：结合空间中线线、线面、面面垂直的定义，探索用向量表述线线、线面、面面的垂直关系. 问题： 1. 如何用直线的方向向量表示两直线平行？ 2. 如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与这个平面的法向量之间是怎样的关系？如何用代数式表示？ 3. 如果两个平面相互垂直，那么用平面法向量如何表示这种位置关系？ 【归纳总结】 1. 一般地，直线与直线垂直，就是两直线的方向向量垂直，即设直线的方向向量分别为，则，如图所示： 2.直线与平面垂直，就是直线的方向向量与平面的法向量平行，即设直线l的方向向量为u，n是平面α的法向量，则l⊥α⇔u∥n⇔∃λ∈R，u＝λn 3.平面与平面垂直，就是两平面的法向量垂直，即设直线l的方向向量为u，n是平面α的法向量，设分别是平面α，β的法向量，则 思考：若设，，，，，，则上述关系如何用坐标表示？ 【归纳总结】 1.； 2.l⊥α⇔u∥n⇔∃λ∈R,u=λn； 3.. 练一练： 已知为直线l的方向向量，，分别为平面，的法向量不重合那么下列说法中： ； ； ； 正确的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 参考答案： ∵平面，不重合；平面，的法向量平行垂直等价于平面，平行垂直；正确；直线l的方向向量平行垂直于平面的法向量等价于直线l垂直平行于平面；都错误．故选B． 目标二：能用向量方法证明直线与平面、平面与平面的垂直关系. 任务1：用向量方法证明线面垂直. 在平行六面体中，AB=AD==1，，求证：直线⊥平面. 问题1：结合线面垂直的定义，如何证明直线⊥平面？ 参考答案：要证明直线⊥平面，就等价于证明直线要垂直平面的任何一条直线. 问题2：根据平面向量基本定理，如何用向量表示面的任何一条直线？ 参考答案：在平面上，取为基向量，则对于平面上任意一点P，存在唯一的有序实数对（λ, μ），使得，所以向量可表示平面的任何一条直线 问题3：结合线面垂直的向量表示，证明直线⊥平面. 参考答案： 证明: 设则{a,b,c}为空间的一个基底，且. 因为， 所以. 在平面上，取为基向量， 则对于平面上任意一点P，存在唯一的有序实数对（λ, μ），使得， 所以 ， 所以是平面的法向量， 所以直线⊥平面. 任务2：用向量方法证明面面垂直的判断定理. 问题1：面面垂直的判定定理是什么？ 参考答案： 面面垂直的判定定理：若一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直. 问题2：如何将面面垂直的判定定理转化为数学符号语言？并用向量方法证明. 参考答案： 已知：如图,，求证：. 证明：取直线l的方向向量u，平面β的法向量n.因为l⊥α, 所以u是平面α的法向量.因为，而n