1.4.1.2 空间中直线、平面的平行 学案-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

空间中直线、平面的平行 学习目标 1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系. 2.能用向量方法证明直线与平面、平面与平面的平行关系. 学习活动 目标一：能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系. 任务：结合空间中线线、线面、面面位置关系的判定和性质，探索向量表述线线、线面、面面的平行关系. 问题1：如图，设分别是直线的方向向量，若，则是什么位置关系？代数如何表示？ 问题2：如图设是直线l的方向向量，是平面α的法向量，l⊄α，若l∥α，则与是什么位置关系？代数如何表示？ 问题3：如图，设分别是平面α，β的法向量，若α//β，则是什么位置关系？代数如何表示？ 练一练： 若直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，则能使l∥α的是(　　) A． a＝(1,0,0)，n＝(－2,0,0)； B． a＝(1,3,5)，n＝(1,0,1)； C． a＝(0,2,1)，n＝(－1,0，－1)； D．a＝(1，－1,3)，n＝(0,3,1). 目标二：能用向量方法证明直线与平面、平面与平面的平行关系. 任务1：用向量方法证明面面平行的判定定理. 已知：如图，，求证：. 任务2：用向量方法证明线面平行. 长方体中, AB=4, BC=3,=2. 在线段上是否存在点P, 使得//平面？ 【归纳总结】 练一练： 在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别是CC1，B1C1的中点．求证：MN∥平面A1BD. 学习总结 任务：根据空间向量坐标表示的关键词，构建知识导图. 1.空间线线、线面、面面平行如何用向量表示？ 2.如何利用向量法证明空间线线线、线面、面面平行？ 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 空间中直线、平面的平行 学习目标 1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系. 2.能用向量方法证明直线与平面、平面与平面的平行关系. 学习活动 目标一：能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系. 任务：结合空间中线线、线面、面面位置关系的判定和性质，探索向量表述线线、线面、面面的平行关系. 问题1：如图，设分别是直线的方向向量，若，则是什么位置关系？代数如何表示？ 参考答案：. 问题2：如图设是直线l的方向向量，是平面α的法向量，l⊄α，若l∥α，则与是什么位置关系？代数如何表示？ 参考答案：. 问题3：如图，设分别是平面α，β的法向量，若α//β，则是什么位置关系？代数如何表示？ 参考答案：. 练一练： 若直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，则能使l∥α的是(　　) A． a＝(1,0,0)，n＝(－2,0,0)； B． a＝(1,3,5)，n＝(1,0,1)； C． a＝(0,2,1)，n＝(－1,0，－1)； D．a＝(1，－1,3)，n＝(0,3,1). 参考答案：若l∥α，则a·n＝0.而A中a·n＝－2，B中a·n＝1＋5＝6，C中a·n＝－1，只有D选项中a·n＝－3＋3＝0.故选D. 目标二：能用向量方法证明直线与平面、平面与平面的平行关系. 任务1：用向量方法证明面面平行的判定定理. 已知：如图，，求证：. 参考答案： 证明:设平面α的法向量为n,直线a,b的方向向量分别为u,v. 因为,所以. 因为， 所以对任意点，存在，使得. 从而， 所以，向量n也是平面β的法向量. 故. 任务2：用向量方法证明线面平行. 长方体中, AB=4, BC=3,=2. 在线段上是否存在点P, 使得//平面？ 参考答案： 证明：以D为原点, DA, DC, 所在直线分别为x轴、y轴、z轴, 建立如图空间直角坐标系.因为 A(3,0,0), C(0,4,0), , 所以. 设n=(x,y,z)是平面的法向量， 则， 即，所以， 取z=6，则x=4，y=3， 所以n=(4,3,6)是平面的一个法向量. 因为, C(0,4,0), , 得. 设点P满足,则， 所以. 令，得-12λ+12-12λ=0，解得， 这样的点P存在.所以当,即P为的中点时，//平面. 【归纳总结】 证明直线l∥平面α的方法： (1)可取直线l的方向向量a与平面α的法向量n，证明a·n＝0； (2)可在平面α内取基向量{e1，e2}，证明存在实数λ1，λ2，使直线l的方向向量a＝λ1e1＋λ2e2，然后说明l不在平面α内即可； (3)在平面α内若能找到两点A，B，直线l的方向向量n∥，则l∥α． 练一练： 在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别是CC1，B1C1的中点．求证：MN∥平面A1BD. 参考答案： 解：如图，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则D(0,0,0)，A