1.3.2 空间向量运算的坐标表示 学案-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019)选择性必修第一册

空间向量运算的坐标表示 学习目标 1.掌握空间向量线性运算和数量积的坐标表示． 2.掌握向量平行、垂直的坐标表示，并能解决相关的平行、垂直问题． 3.能熟练应用两个向量夹角与向量长度的坐标计算公式. 学习活动 目标一：掌握空间向量线性运算和数量积的坐标表示． 任务：类比平面向量线性运算，探索空间向量的线性运算. 问题1：在前面的学习中我们已经学习了平面向量的加减、数乘、和数量积运算.设我们是如何对平面向量进行坐标运算的呢？ 问题2：设空间向量 ，类比平面向量运算的坐标表示，说说空间向量运算坐标表示是怎样的？如何证明？ 【新知讲授】 练一练： 如图，在空间直角坐标系中，正方体的棱长为2，,分别是, 的中点.求证. 目标二：掌握向量平行、垂直的坐标表示，并能解决相关的平行、垂直问题． 任务1：回顾平面向量平行和垂直的坐标表达式，探究空间向量平行和垂直的坐标表达式. 问题1：设若，则如何用向量坐标表示？ 问题2：设空间向量若，如何用向量的坐标表示？ 思考：这个充要条件能否表示为？ 【新知讲解】 任务2：探究空间向量模、夹角的坐标表达式. 问题1：设 则平面向量的模长和夹角公式是怎样的？ 问题2：设空间向量的模长和夹角公式怎样用坐标表示？如何证明？ 问题3：如图所示，建立空间直角坐标系Oxyz，设， ，则的表达式是怎样的？ 【归纳总结】 练一练： 如图，在空间直角坐标系中，正方体的棱长为2，,分别是, 的中点.求与所成角的余弦值. 学习总结 任务：根据空间向量坐标表示的关键词，构建知识导图. “加法“、“减法”、“数乘”、“数量积”、“平行”、“垂直”、“模长”、“夹角” 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 空间向量运算的坐标表示 学习目标 1.掌握空间向量线性运算和数量积的坐标表示． 2.掌握向量平行、垂直的坐标表示，并能解决相关的平行、垂直问题． 3.能熟练应用两个向量夹角与向量长度的坐标计算公式. 学习活动 目标一：掌握空间向量线性运算和数量积的坐标表示． 任务：类比平面向量线性运算，探索空间向量的线性运算. 问题1：在前面的学习中我们已经学习了平面向量的加减、数乘、和数量积运算.设我们是如何对平面向量进行坐标运算的呢？ 参考答案： （1） （2） （3）， （4） 问题2：设空间向量 ，类比平面向量运算的坐标表示，说说空间向量运算坐标表示是怎样的？如何证明？ 参考答案： （1） （2） （3） （4） 以数量积的证明为例，证明： 设为空间的一个单位正交基底，由向量的坐标为，则可将向量唯一分解为， 同理可将向量表示为. . 利用向量数量积分配律及 得 【新知讲授】 设空间向量 ，则 ； ； ； . 练一练： 如图，在空间直角坐标系中，正方体的棱长为2，,分别是, 的中点.求证. 参考答案： 因为 , ， 所以 又因为点, 所以. 所以. 所以, 即. 目标二：掌握向量平行、垂直的坐标表示，并能解决相关的平行、垂直问题． 任务1：回顾平面向量平行和垂直的坐标表达式，探究空间向量平行和垂直的坐标表达式. 问题1：设若，则如何用向量坐标表示？ 参考答案： 因为的充要条件是. 所以得到方程组 消去，得到平面向量平行充要条件的 问题2：设空间向量若，如何用向量的坐标表示？ 参考答案： 当时，的充要条件是 ，得到方程组， 这就是空间向量平行的充要条件的坐标表示. 思考：这个充要条件能否表示为？ 参考答案： 空间向量平行的充要条件不等价于， 因为的含义是的坐标分量至少有一个不为零，而非每一个坐标分量都不为零. 例如，当与坐标平面平行时，此时无意义. 因此只有在与三个坐标平面均不平行， 即均不为零时才能有. 特殊地，当时，.此时与任意向量都平行. 【新知讲解】 1.设空间向量 若，则. 2.设空间向量 若，则其充要条件为. 任务2：探究空间向量模、夹角的坐标表达式. 问题1：设 则平面向量的模长和夹角公式是怎样的？ 参考答案： ；. 问题2：设空间向量的模长和夹角公式怎样用坐标表示？如何证明？ 参考答案： . . 证明过程略. 问题3：如图所示，建立空间直角坐标系Oxyz，设， ，则的表达式是怎样的？ 参考答案： 由题可知，向量 于是. 所以. 这就是空间两点间的距离公式. 【归纳总结】 1.设 则 （1） ； （2） . 2.设，，则 练一练： 如图，在空间直角坐标系中，正方体的棱长为2，,分别是, 的中点.求与所成角的余弦值. 参考答案： 由图可知， 所以, , . 所以. 所以. 所以,与所成角为向量，向量夹角的补角. 所以,与所成角的余弦值是. 学习总结 任务：根据空间向量坐标表示的关键词，构建知识导图. “加法“、“减法”、“数乘”、“数量积”、“平行”、“垂直”、“模长”、“夹角