6.4.3.2 正弦定理-2023-2024学年高一数学教材配套教学精品课件（人教A版2019必修第二册)

6.4.3.2 正弦定理 高一下学期 1、了解正弦定理的推导过程； 2、掌握正弦定理及其推论； 3、能用正弦定理解决三角形有关问题； 重点：正弦定理及其推论 难点：正弦定理的推导过程及运用 学习目标 余弦定理及其推论给出了已知两边及其夹角、已知三边直接解三角形的公式： ， ， . 思考：如果已知两角和一边，是否也能解三角形呢？ 探究：在中，已知角和边，如何求？ 新知探究 探究：在中，已知一边 显然，上述两个关系式在一般三角形中不成立. 观察发现，它们有一个共同元素，利用它把两个式子联系起来，可得： 所以上式可以写成 又因为 新知探究 思考：对于锐角三角形和钝角三角形，是否仍然成立？ 追问：根据余弦定理的探究过程，我们会想到用什么方法研究？ 因为涉及三角形的边、角关系，所以仍然采用向量方法来研究. 思考：向量的数量积运算中出现了角的余弦，而我们需要的是角的正弦. 如何实现转化？ 由诱导公式可知，我们可以通过构造角之间的互余关系，把边与角的余弦关系转化为正弦关系. 新知探究 下面先研究锐角三角形的情形. 如图，在锐角中，过点作与垂直的单位向量， 则与的夹角为，与的夹角为. 因为，所以 由分配律得： 即：， 也即. 所以. 新知探究 同理，过点作与垂直的单位向量， 则与的夹角为，与的夹角为. 因为，所以 由分配律，得： 即：， 也即. 所以. 新知探究 当是钝角三角形时，不妨设为钝角(如图). 过点作与垂直的单位向量， 则与的夹角为，与的夹角为. 因为，所以 由分配律得： 即：， 也即.所以. 同理，有成立. 新知探究 思考：你还能用其他方法证明正弦定理吗？ 法二(几何)：当为锐角三角形时， 过点作，垂足为， 根据锐角三角函数的定义：，， 所以， 即. 同理可得：. 所以. 新知探究 当为钝角三角形时，过点作的垂线，垂足为， 所以，， 所以， 即. 同理可得：. 所以. 新知探究 法三(圆)： 设的外接圆是，半径为 延长交于点，连接， 则，， 在中，，即， 所以 新知探究 正弦定理() 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即： ①；； ②；； 新知探究 例题：在中，已知，，，解这个三角形. 解：由三角形内角和定理，得： 由正弦定理，得： ——解三角形 典例精析 例题：在中，已知，，，解这个三角形. 解：由正弦定理 ，得： 因为，所以 于是或 (1)当时， 此时， 思考：为什么角C有两个值？ ——解三角形 典例精析 (2)当时， 此时， 由三角函数的性质可知，在区间内，余弦函数单调递减，所以利用余弦定理求角，只有一解； 正弦函数在区间内单调递增，在区间内单调递减，所以利用正弦定理求角，可能有两解. ——解三角形 典例精析 教材P48 2、(1)在中，已知，求和. (2)在中，已知，，求. 3、在中，已知，，求和. 练习：在中，已知，则. A.或 B. C. D.以上答案都不对 C 大边对大角，小边对小角 习题演练 思考：在上述练习中，我们发现已知两角一边时，三角形解的个数唯一，而当已知两边及一边的对角时，三角形解的个数出现了多种情况，那么你能探究总结得到不同情况下三角形解的个数吗？ 探究：在中，已知角和边，. (1)当为锐角时： ①当时，无解 ②当时，有一解 ③当时，有两解 ④当时，有一解 ——三角形解的个数 新知探究 (2)当为直角时： ①当时，无解 ②当时，有一解 (3)当为钝角时： ①当时，无解 ②当时，有一解 新知生成 例题：在中，，那么解此三角形有. A.一解 B.两解 C.无解 D.不确定 C ——三角形解的个数 练习：根据下列条件，判断三角形是否有解，若有解，有几个解？ (1)； (2) (3)； (4)； 一解 无解 一解 两解 典例精析 变式：在中，，若三角形有两解，则的取值范围是( ). A. B. C. D. C 习题演练 B 例题：以下关于正弦定理的叙述或变形错误的是( ) A.在中， B.在中，若，则 C.在中，若，则；若，则 D.在中， D 练习：在中，，则( ) A. B. C. D. ——正弦定理的变形 典例精析 ①；； ②；； ③ ④ 或 新知生成 例题：在中，若a＝bsin A，则一定是（　B　） A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 解：由题意＝b＝，则sin B＝1，即B为直角，故是直角三角形. B 练习：在中，，则该三角形一定是( ). A.等