2024届天津市各区高三上学期期末数学试题分类汇编：空间立体几何（向量证明）

2024届天津市各区高三上期末数学试题分类汇编—— 空间立体几何（向量证明） 1.（2024·天津和平区·高三上期末）如图，四棱柱中，侧棱底面，，四棱柱的体积为36．（1）证明：平面；（2）求平面与平面的夹角的余弦值；（3）求点到平面的距离． 2.（2024·天津和平耀华中学·高三上期末）四棱锥P－ABCD中，平面ABCD，，，，，E是的中点，点F在线段上，且满足． （1）求证：平面；（2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）在线段上是否存在点Q，使得与平面所成角的余弦值是，若存在，求出的长；若不存在，请说明理由． 3.（2024·天津河北区·高三上期末）如图，直角梯形与等腰直角三角形所在的平面互相垂直，，为的中点. （1）求证：； （2）求直线与平面所成角正弦值； （3）线段上有一点，满足，求证：平面. 4.（2024·天津河东区·高三上期末）如图，四棱锥的底面是矩形，⊥平面，，.（1）求证：⊥平面；（2）求二面角余弦值的大小；（3）求点到平面的距离． 5.（2024·天津河西区·高三上期末）如图所示的几何体中，平面，，，，为的中点，，为的中点. （1）求证：//平面；（2）求点到平面的距离. （3）求平面与平面所成角的余弦值. 6.（2024·天津红桥区·高三上期末） 如图，在直三棱柱中，，，，点D是线段的中点， （1）求证：（2）求D点到平面的距离； 7.（2024·天津南开区·高三上期末） . 如图，在正方体中，为棱上一点（不含端点），为棱的中点. （1）若为棱的中点，（i）求直线与平面所成角正弦值； （ii）求平面和平面的夹角的余弦值； （2）求直线与所成角余弦值的取值范围. 8.（2024·天津宁河区·高三上期末）如图，且，，且，且，平面，，M为棱的中点． （1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求平面与平面夹角的余弦值． 9.（2024·天津五所重点校·高三上期末）在直三棱柱中，，点是的中点． （1）求异面直线所成角的余弦值；（2）求直线与平面所成角的正弦值； 10.（2024·天津西青区·高三上期末）如图所示，在三棱柱中，平面，，，D是棱的中点，是的延长线与的延长线的交点． （1）求证平面；（2）求平面与平面夹角的余弦值；（3）求点到平面的距离． 11.（2024·天津八校联考·高三上期末）如图，正方形与梯形所在平面互相垂直，已知．//，，点P为线段EC的中点． （1）求证：∥平面CDE；（2）求直线DP与平面所成角的正弦值； （3）求平面与平面夹角的余弦值． 12.（2024·天津塘沽一中·高三上期末）如图，正方形与直角梯形所在平面互相垂直，，， （1）求证：平面；（2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）求点到平面的距离． 13.（2024·天津部分区·高三上期末）如图，已知平面，，，，，，. （1）求证：平面；（2）求平面与平面的夹角的余弦值； （3）求点到直线的距离. 答案 1.（2024·天津和平区·高三上期末）如图，四棱柱中，侧棱底面，，四棱柱的体积为36． （1）证明：平面；（2）求平面与平面的夹角的余弦值； （3）求点到平面的距离． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【小问1详解】因为侧棱底面， 所以以点为坐标原点，的方向分别为轴，轴，轴的正方向，建立如下图所示的空间直角坐标系， 又因为棱柱体积为36，易知底面为直角梯形， 其面积为，柱体体积，有．所以 ， 证明：因为，平面的法向量为， ，所以，又因为平面，所以平面． 【小问2详解】因为，设平面的法向量为， 则，令，则， 由（1）得，设平面与平面的夹角为， 则平面与平面的夹角的余弦值为． 【小问3详解】因为，所以，点到平面的距离为． 2.（2024·天津和平耀华中学·高三上期末）四棱锥P－ABCD中，平面ABCD，，，，，E是的中点，点F在线段上，且满足． （1）求证：平面；（2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）在线段上是否存在点Q，使得与平面所成角的余弦值是，若存在，求出的长；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析； （2） （3） 【小问1详解】（1）证明：取的中点，连接和，则，且，又，且，四边形为平行四边形， ．平面，平面，平面． 【小问2详解】由题意可得，，两两互相垂直，如图，以为原点， ，，分别为，，轴建立空间直角坐标系， 则，设，则 由，即，得，故设平面的一个法向量为，，则，则，令，则， 即平面的一个法向量为； 设平面的一个法向量为，， 则，则，令，则， 即平面的一个法向量为；故平面与平面夹角的余弦值为 【小问3详解】与平面所成角的余弦值是，所以其正弦值为 设点，则， 即，故，，又平面的一个法向量为， 则与平面所成角的正弦值为， 整理得（舍去）， 所以存在满足条