上海市建平中学2023-2024学年高一下学期第一次教学质量检测（3月月考）数学试卷

2023-2024学年上海市建平中学高一年级下学期 3月月考数学试卷 2024.3 一、填空题 (本大题共有12小题，满分36分) 1.已知点，则的坐标为______. 2.函数的最小正周期是______. 3.函数的值域是______. 4.已知，则______. 5.已知等边三角形边长为4，则在方向上的数量投影为______. 6.已知是实数，向量不平行，若，则______. 7.在中，分别是的内角所对的边，，则______. 8.如图，点是线段及的延长线，的延长线所围成的区域内（不含边界）运动，且，则的取值范围是______. 9.函数，若，则______. 10.已知函数是定义在上的奇函数，且，则______. 11.已知函数，将图像上每一点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的倍，得到的图像，的部分图像如图所示，若，则______. 12.已知，若存在、，使得与夹角为，且，则的最小值为______. 二、选择题（本大题共有4题，满分12分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13.若，则（ ）. A. B. C. D. 14.已知向量，则“”是“”的（ ） A.充分非必要 B.必要非充分 C.充分必要 D.既非充分又非必要 15.剪纸是中国古老的传统民间艺术之一，剪纸时常会沿着纸的某条对称轴对折．将一张纸片先左右折叠，再上下折叠，然后沿半圆弧虚线裁剪，展开得到最后的图形，若正方形的边长为4，点在四段圆弧上运动，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 16.已知函数，已知定义在上的函数依次是严格增函数、严格减函数与周期函数，记. 则对于下列命题 ①若是严格增函数，则； ②若是严格减函数，则； ③若是周期函数，则. 正确都有（ ） A. 无一正确 B. ①②③ C. ①②③ D. ①②③ 三、解答题 (本大题满分52分) 本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 17.（本题满分8分） 已知平面向量的夹角为，且 （1）若，求 （2）当，求 18.（本题满分10分） 某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图像时，列表并填入了部分数据，如表： 0 0 5 0 （1）请将上表数据补充完整，并直接写出函数的解析式 （2）当时，求的解集 19.（本题满分10分） 如图，在中，． （1）用，表示，； （2）若点满足，证明：，，三点共线． 20.（本题满分12分） “但又一枝堪比玉，何须九畹始征兰”。盛开的白玉兰是上海的春天最亮丽的风景线，除白玉兰外，上海还种植木兰科的其他栽培种，如黄玉兰和紫玉兰等，某种植园准备将如图扇形空地分成三部分，分别种植白玉兰、黄玉兰和紫玉兰；已知扇形的半径为70米，圆心角为，动点在扇形的弧上，点在上，且 （1）求扇形空地的周长和面积 （2）当米时，求分隔栏的长； （3）综合考虑到成本和美观等原因，要使白玉兰种植区的面积尽可能的大，设，求的面积的最大值． 21.（本题满分12分） 对于一组向量，令，如果存在，使得，那么称是该向量组的“长向量”． （1）设，且，若是向量组的“长向量”，求实数的取值范围； （2）若，且，向量组是否存在“长向量”？给出你的结论并说明理由； （3）已知、、均是向量组的“长向量”，其中，．设在平面直角坐标系中有一点列满足：为坐标原点，为的位置向量的终点，且与关于点对称，与关于点对称，求的最小值 第1页(共5页) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年上海市建平中学高一年级下学期 3月月考数学试卷 2024.3 一、填空题 (本大题共有12小题，满分36分) 1.已知点，则的坐标为______. 【答案】 【解析】 2.函数的最小正周期是______. 【答案】 【解析】 3.函数的值域是______. 【答案】 【解析】 4.已知，则______. 【答案】 【解析】 5.已知等边三角形边长为4，则在方向上的数量投影为______. 【答案】2 【解析】在方向上的数量投影为 6.已知是实数，向量不平行，若，则______. 【答案】3 【解析】由题意得 7.在中，分别是的内角所对的边，，则______. 【答案】 【解析】由正弦定理可得 8.如图，点是线段及的延长线，的延长线所围成的区域内（不含边界）运动，且，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】点是线段及的延长线，的延长线所围成的区域内（不含边界）运