3.6利用导数证明不等式讲义-2024届高三数学一轮专题复习

$3.6 利用导数证明不等式 【考试要求】 导数中的不等式证明是高考的常考题型,常与函数的性质、函数的零点与极值、 数列等相结合,虽然题目难度较大,但是解题方法多种多样,如构造函数法、放缩法等,针 对不同的题目,灵活采用不同的解题方法,可以达到事半功倍的效果 题型一 将不等式转化为函数的最值问题 例1(2023滩坊模拟)已知函数/fx)-e一ax-a,aER (1)讨论f)的单调性; (2)当a=1时,令g(x)-2f x x2.证明:当x0时,g()1 思维升华待证不等式的两边含有同一个变量时,一般地,可以直接构造“左减右”的函数, 有时对复杂的式子要进行变形,利用导数研究其单调性和最值,借助所构造函数的单调性和 最值即可得证: 跟踪训练1 设a为实数,函数fx)一e-2x+2a,xEB (1求/)的单调区间与极值; (2)求证:当an2-1且x0时:ex2-2ax+1 题型二 将不等式转化为两个函数的最值进行比较 例2(2023苏州模拟)已知函数/(x)-elnx-ax(aER). (1)讨论/)的单调性 (2)当a=e时,证明f(x)一exx+2e<0 思维升华 若直接求导比较复杂或无从下手时,可将待证式进行变形,构造两个函数,从而 找到可以传递的中间量,达到证明的目标,本例中同时含lnx与e,不能直接构造函数,把 指数与对数分离两边,分别计算它们的最值,借助最值进行证明. 跟踪训练2(2023合肥模拟)已知函数fx)=e+x2一x-1 (1)求fx的最小值; (2)证明:ex+xlnx+x2-20 题型三 适当放缩证明不等式 例3 已知函数f(x)=aer-1-lnx-1 (1)若a=1,求/fx)在(1:f1))处的切线方程; (②)证明:当a1时,fx)>0 思维升华 导数方法证明不等式中,最常见的是e和lnx与其他代数式结合的问题,对于这 类问题,可以考虑先对ex和lnx进行放缩,使问题简化,简化后再构建函数进行证明,常见 的放缩公式如下: (1)e1+x,当且仅当x-0时取等号: (2)lnxx-1,当且仅当x-1时取等号. 跟踪训练3 (②022南充模拟)已知函数fx)一x一sinx (1)若函数/x)为增函数,求实数a的取值范围; (2)求证:当x0时,e2sinx