3.5利用导数研究恒(能)成立问题讲义-2024届高三数学一轮专题复习

$3.5利用导数研究恒（能）成立问题 【考试要求】恒（能）成立问题是高考的常考考点，其中不等式的恒（能）成立问题经常与导数及 其几何意义、函数、方程等相交汇，综合考查学生分析问题、解决问题的能力，一般作为压 轴题出现，试题难度略大 题型一分离参数求参数范围 例1已知函数f)=e-一1 (1)当a=1时，求x)的单调区间与极值： (2)若fx)≤x2在[0，十o∞)上有解，求实数a的取值范围. 思维升华分离参数法解决恒（能）成立问题的策略 ()分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题. (②)a≥x)恒成立∽a≥xmx: a≤fx)恒成立aa≤rmin: a>fx)能成立一a≥Xmin: a≤fx)能成立一a≤x)am 跟踪训练1(2023·苏州质检)已知函数x)=am一e(a∈R),gx)=1nxx (I)当a=1时，求函数)的极值： (2)若存在x∈(0，十∞)，使不等式尤)≤gx)一c成立，求实数a的取值范围. 题型二等价转化求参数范围 例2(2023柳州模拟)已知函数x)=a一nx (1)讨论函数x)的单调性： (2)若x=1为函数x)的极值点，当x∈[e,十o)时，不等式x[x)一x+1]≤m(e一x)恒成立， 求实数m的取值范围。 思维升华根据不等式恒成立构造函数转化成求函数的最值问题，一般需讨论参数范围，借 助函数单调性求解。 跟踪训练2(2023宝鸡模拟)已知函数x)=c+aln(一x)十l,子(x)是其导函数，其中a∈R (1)若x)在（一∞，0）上单调递减，求a的取值范围： (2)若不等式x)≤fx)对Vx∈(-∞，0)恒成立，求a的取值范围。 题型三双变量的恒（能）成立问题 例3(2023石家庄质检)己知函数尤)=ar2nx与gx)=x2-bx (1)若)与g)在x=1处有相同的切线，求a,b,并证明x)≥gx: (2)若对x∈[1，]，都3b∈1，\f(e2)使fx)≥gx)恒成立，求a的取值范围. 思维升华“双变量”的恒（能）成立问题一定要正确理解其实质，深刻挖掘内含条件，进行 等价变换，常见的等价转换有 (1)Vx1,x2ED,fx1)g(x2)fx)ming(x)mm (2)V∈D1,3x2∈D2,fx)）Pgx2ax)min g)min (3)31∈D1,Vx红∈D2,f1）Pg)fx)max>gx)m 跟踪训练3已知函数x)=ax2一x一1exc∈R),a为正实数， (I)求函数x)的单调区间： 2)若V:,x∈[0,4，不等式)一x<1恒成立，求实数a的取值范围.