3.3导数与函数的极值、最值讲义-2024高考数学一轮复习（新高考版）

§3.3　导数与函数的极值、最值 考试要求　1.借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要和充分条件.2.会用导数求函数的极大值、极小值.3.掌握利用导数研究函数最值的方法.4.会用导数研究生活中的最优化问题． 知识梳理 1．函数的极值 (1)函数的极小值 函数y＝f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点处的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧 ，右侧 ，则a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值． (2)函数的极大值 函数y＝f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点处的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧 ，右侧 ，则b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值． (3)极小值点、极大值点统称为 ，极小值和极大值统称为 ． 2．函数的最大(小)值 (1)函数f(x)在区间[a，b]上有最值的条件： 如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条 的曲线，那么它必有最大值和最小值． (2)求函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤： ①求函数y＝f(x)在区间(a，b)内的 ； ②将函数y＝f(x)的各极值与 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 常用结论 对于可导函数f(x)，“f′(x0)＝0”是“函数f(x)在x＝x0处有极值”的必要不充分条件． 思考辨析 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数的极值可能不止一个，也可能没有．(　 　) (2)函数的极小值一定小于函数的极大值．(　 　) (3)函数的极小值一定是函数的最小值．(　 　) (4)函数的极大值一定不是函数的最小值．(　 　) 教材改编题 1．如图是f(x)的导函数f′(x)的图象，则f(x)的极小值点的个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 2．函数f(x)＝x3－ax2＋2x－1有极值，则实数a的取值范围是________________． 3．若函数f(x)＝x3－4x＋m在[0,3]上的最大值为4，则m＝________. 题型一　利用导数求解函数的极值问题 命题点1　根据函数图象判断极值 例1　(多选)(2023·华南师大附中模拟)如图是y＝f(x)的导函数f′(x)的图象，对于下列四个判断，其中正确的判断是(　　) A．当x＝－1时，f(x)取得极小值 B. f(x)在[－2,1]上单调递增 C．当x＝2时，f(x)取得极大值 D. f(x)在[－1,2]上不具备单调性 听课记录：______________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 命题点2　求已知函数的极值 例2　(2022·西南大学附中模拟)已知函数f(x)＝ln x＋2ax2＋2(a＋1)x(a≠0)，讨论函数f(x)的极值． ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 命题点3　已知极值(点)求参数 例3　(1)(2023·福州质检)已知函数f(x)＝x(x－c)2在x＝2处有极小值，则c的值为(　　) A．2 B．4 C．6 D．2或6 (2)(2023·威海模拟)若函数f(x)＝ex－ax2－2ax有两个极值点，则实数a的取值范围为(　　) A. B. C. D. 听课记录：______________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 思维升华　根据函数的极值(点)求