3.2导数与函数的单调性讲义-2024届高三数学一轮复习

$3.2 导数与函数的单调性 【考试要求】1结合实例,借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系2.能利用导数研究函 数的单调性,会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)3会利用函数的单调性 判断大小,求参数的取值范围等简单应用. ■落实 主干知识 【知识梳理】 1. 函数的单调性与导数的关系 条件 桓有 结论 f())0 fx)在区间(a,)上 函数y一fx)在区间(a,b) f(x) fx)在区间(a,b)上 上可导 f(x)-0 fx)在区间(a,)上是 2.利用导数判断函数单调性的步骤 第1步,确定函数的__: 第2步,求出导数/()的__; 第3步,用f()的零点将fx)的定义域划分为若干个区间,列表给出f(x)在各区间上的正 负,由此得出函数一fx)在定义域内的单调性 【常用结论】 1. 若函数fx)在(a,b)上单调递增,则当xE(a,b)时,f(x)三0恒成立:若函数fx)在(a b)上单调递减,则当xE(a,b)时,f(x)<0恒成立 2. 若函数fx)在(a,b)上存在单调递增区间,则当xE(a,b)时,f(x)>0有解;若函数fx)在 (a,)上存在单调递减区间,则当xE(a,b)时,f(x)<0有解 【思考辩析】 判断下列结论是否正确(请在括号中打“/”或“×” (1)如果函数fx)在某个区间内恒有fr(x)一0,则/fx)在此区间内没有单调性。( (②)在(a,b)内ff()<0且ff()-0的根有有限个,则/x)在(,b)内单调递减。( ) (3)若函数/fx)在定义域上都有f(x)0,则/x)在定义域上一定单调递增。( _一 (4)函数/x)一x一sinx在R上是增函数.( ) 【教材改编题】 1.f(t)是fx)的导函数,若/f(x)的图象如图所示,则/fx)的图象可能是( _ ##7## ##:4444 C D 2. 函数/(x)-x2-2lnx的单调递减区间是( ) A.(0.1) B.(1,+o) C.(-o,1) D.(-1.1) 3. 已知函 数fx)=xsin x,xER,则f\a\vs4\alcol1\f(Iπ 5)), f1)f avs4alco1\f(n3))的大小关系为 .(用“”连接) 探究 核心题型 题型一 不含参函数的单调性 例1(1)函数f(x)-xlnx-3x+2的单调递减区间为 (2)若函数/(x)一1nx十1ex,则函数fx)的单调递增区间为 听课记录: 思维升华 确定不含参数的函数的单调性,按照判断函数单调性的步骤即可,但应注意两点; 一是不能漏掉求函数的定义域,二是函数的单调区间不能用并集,要用“逗号”或“和”隔 开. 跟踪训练1 已知函数fx)一x-lnx一exx.判断函数fx)的单调性 题型二 含参数的函数的单调性 例2 已知函数fx)-(2-a)x-lnx-1,aER (1)当a一1时,求函数y一fx)的单调递增区间; (②)若a<0,设g(x)一fx)+a2,求函数g(x)的单调区间. 思维升华 (1)研究含参数的函数的单调性,要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论 (2)划分函数的单调区间时,要在函数定义域内讨论,还要确定导数为零的点和函数的间断点 跟踪训练2 已知函数g(x)-(x-a-1)e-(x一a)},讨论函数g(x)的单调性 题型三 函数单调性的应用 命题点1 比较大小或解不等式 例3(1)(多选)下列不等式成立的是( ) A. 2ln32~32ln2 B.2n3~3n2 C. 5ln4c4n5 D. elnπ (2)已知函数fx)=cosx+e+e-x-12x2,则关于x的不等式f(2x-1)<f(3+x)的解集为 ) A.(-1.2) B. a)vs4)alcol(-f②3),4) C(-o,-1)U(2,+o) D. avs4\alcol(-o,-f②3)U(4,+) 听课记录: 命题点2 根据函数的单调性求参数 例4 已知函数/f(x)-lnx-12a2-2x(a:0). (1)若/fx)在[1.4]上单调递减,求实数a的取值范围 (2)若/fx)在[1.41上存在单调递减区间,求实数a的取值范围. 思维升华 由函数的单调性求参数的取值范围的方法 (1)函数在区间(a,b)上单调,实际上就是在该区间上f()0(或f(x)<0)恒成立. (2)函数在区间(a,)上存在单调区间,实际上就是f(x)>0(或ff(tx)<0)在该区间上存在解集 跟踪训练3(1)已知函数fx)=1ex-e+2x-13x3,若/f(3a②})+/f(2a-1)三0,则实数a的取值 范围是___: (2)已知函数fx)=-12x2-3x+4lnx在(t,t+2)上不单调,则实数1的取值范围是