2.4二次函数的应用-【高效导学】2023-2024学年九年级数学下册同步题型讲与练（北师大版）

2.4 二次函数的应用 导图先学 边讲边练 1．利用二次函数解决利润问题 利润问题主要涉及两个等量关系： 利润=售价-进价； 总利润=单件商品的利润×销售量． 在日常生活中，经常遇到求最大利润、最高产量等问题，在解答此类问题时，应建立函数模型，把它们转化为求函数的最值问题，然后列出相应的函数解析式，从而解决问题． 建立二次函数模型解决实际问题的一般步骤： （1）审题； （2）找出题中的已知量和未知量； （3）用一个未知量表示题中的其他未知量； （4）找出等量关系并列出函数解析式； （5）利用二次函数的图象及性质去分析、解决实际问题． 2．利用二次函数求图形面积的最值 （1）二次函数的最值：一般地，当a>0（a<0）时，抛物线y=ax2+bx+c的顶点是最低（最高）点，也就是说，当x=时，二次函数y=ax2+bx+c有最小（最大）值，最小（最大）值为． （2）应用二次函数解决实际问题的基本思路： ①理解题意；②分析问题中的变量和常量以及它们之间的关系； ③用函数解析式表示它们之间的关系；④用数学方法求解；⑤检验结果的合理性． 3．利用二次函数解决抛物线形问题 在实际生活中，如拱门、桥洞等问题，都可以通过建立二次函数模型来解答．在解答此类问题的过程中，要运用数形结合思想和函数思想，在图形上先建立合适的平面直角坐标系，再根据题意设出适当的函数解析式，然后由已知点的坐标，利用待定系数法求出函数解析式，最后根据函数解析式来分析解答问题． 题型1：根据实际应用问题列二次函数 【例】（2023秋•包河区校级月考）据省统计局公布的数据，合肥市2023年第一季度总值约为2.6千亿元人民币，若我市第三季度总值为千亿元人民币，平均每个季度增长的百分率为，则关于的函数表达式是　　 A． B． C． D． 【变式1】（2023秋•川汇区校级月考）将商品按单件利润为20元售出时，能卖出100个．已知该商品单价每上涨1元，其销售量就减少5个．设这种商品的售价上涨元时，获得的利润为元，则下列关系式正确的是　　 A． B． C． D． 【变式2】（2022秋•澧县期末）如图是一个矩形花圃的平面图，花圃由一堵旧墙（旧墙的长度不小于和总长为的篱笆围成，中间用篱笆分隔成两个小矩形．设大矩形的垂直于旧墙的一边长为米，花圃总面积为平方米，求关于的函数解析式 　　．（用二次函数一般式表示） 【变式3】（2022秋•济南期末）学校准备将一块长，宽的矩形绿地扩建，如果长和宽都增加 ，设增加的面积是 ． （1）求与之间的函数关系式． （2）若要使绿地面积增加，长与宽都要增加多少米？ 题型2：二次函数的应用 【例】（2023秋•瓯海区期中）在一次炮弹发射演习中，记录到一门迫击炮发射的炮弹的飞行高度米与飞行时间秒的关系式为，当炮弹落到地面时，经过的时间为　　 A．40秒 B．45秒 C．50秒 D．55秒 【变式1】（2023秋•柳州期末）如图，以的速度将小球沿与地面成角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度（单位：与飞行时间（单位：之间具有函数关系，下列说法正确的是　　 A．小球的飞行高度为时，小球飞行的时间是 B．小球飞行时飞行高度为，并将继续上升 C．小球的飞行高度可以达到 D．小球从飞出到落地要用 【变式2】（2023秋•龙泉市期中）在中考体育训练期间，小宇对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度（米与水平距离（米之间的关系式为，由此可知小宇此次实心球训练的成绩为 　 　米． 【变式3】（2023秋•东阳市期中）足球训练中球员从球门正前方8米的处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为6米时，球达到最高点，此时球离地面3米．现以为原点建立如图所示直角坐标系． （1）求抛物线的函数表达式； （2）已知球门高为2.44米，通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）； （3）已知点为上一点，米，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，当时球员带球向正后方移动米再射门，足球恰好经过区域（含点和，求的取值范围． 题型3：二次函数的综合问题 【例】（2022秋•南川区期末）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴于，两点，与轴交于点，点是直线下方抛物线上一动点． （1）求这个二次函数的解析式； （2）当动点运动到什么位置时，使四边形的面积最大，求出此时四边形的面积最大值和的坐标； （3）如图2，点在抛物线对称轴上，点是平面内一点，是否存在这样的点、，使得以点、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式1】（2022秋•龙岩期末）已知抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，点为坐标原点． （1）求，两点的坐标； （2）若点是线段上靠近点的一个三等分点