6.4.3余弦定理、正弦定理应用举例学案-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

西双版纳八壹中学2023届 数学学案 —— 年——月——日—— 课题：第六章 平面向量 6.4.3余弦定理、正弦定理应用举例 班级—————— 姓名—————— 一．学习目标 1.了解实际问题中常用的测量相关术语，能够运用余弦定理、正弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离、高度、角度的实际问题； 2.通过对余弦定理、正弦定理应用的学习，培养学生数学抽象、数学运算、数学建模等数学素养。 二．问题与例题 情景1：在实践中,我们经常会遇到测量距离、高度、角度等实际问题,解决这类问题,通常需要借助经纬仪以及卷尺等测量角和距离的工具进行测量. 具体测量时,我们常常遇到“不能到达”的困难,这就需要设计恰当的测量方案.下面我们通过几道例题来说明这种情况.需要注意的是,题中为什么要给出这些已知条件,而不是其他的条件. 事实上,这些条件往往隐含着相应测量问题在某种特定情境和条件限制下的一个测量方案,而且是这种情境与条件限制下的恰当方案. 例1如图6.4-12,A,B两点都在河的对岸(不可到达),设计一种测量A,B两点间距离的方法,并求出A,B间的距离. 思考：在上述测量方案下,还有其他计算A,B两点间距离的方法吗? 在测量过程中,我们把根据测量的需要而确定的线段叫做基线,如例1中的CD.为使测量具有较高的精确度,应根据实际需要选取合适的基线长度.一般来说,基线越长,测量的精确度越高,如图6.4-14,早在1671年,两位法国天文学家为了测量地球与月球之间的距离,利用几乎位于同一经线上的柏林(点A)与好望角(点B)为基点,测量出,的大小,并计算出两地之间的距离AB,进而算出了地球与月球之间的距离约为385400km.我们在地球上所能用的最长的基线是地球椭圆轨道的长轴.当然,随着科学技术的发展,人们会不断发现更加先进的测量距离的方法. 情景2：下面看一个测量高度的问题. 例2：如图6.4-15,AB是底部B不可到达的一座建筑物,A为建筑物的最高点.设计一种测量建筑物高度AB的方法,并求出建筑物的高度. 情景3：下面看一个测量角度的问题. 例3：位于某海域A处的甲船获悉,在其正东方向相距20nmile的B处有一艘渔船遇险后抛锚等待营救.甲船立即前往救援,同时把消息告知位于甲船南偏西30°,且与甲船相距7nmile的C处的乙船.那么乙船前往营救遇险渔船时的目标方向线(由观测点看目标的视线)的方向是北偏东多少度(精确到1°)?需要航行的距离是多少海里(精确到1nmile)? 三 课堂新知运用 教材练习展示 P51-P52 第1，2，3题 四 随堂测试（40分钟） 批改日期： 评价： 1．如图，若小河两岸平行，为了知道河对岸两棵树C，D（CD与河岸平行）之间的距离，选取岸边两点A，B（AB与河岸平行），测得数据：，，，，试求C，D之间的距离． 2．如图，A、B两点都在河的对岸(不可到达)，若在河岸选取相距20米的C、D两点，测得∠BCA＝60°，∠ACD＝30°，∠CDB＝45°，∠BDA＝60°，那么此时A，B两点间的距离是多少？ 3．如图，货轮在海上以40km/h的速度沿着南偏东40°的方向航行，货轮在B点观测灯塔A在其南偏东70°的方向上，航行半小时到达C点，此时观测灯塔A在其北偏东65°的方向上．求C点与灯塔A的距离．    4．山东省滨州市的黄河楼位于蒲湖水面内东南方向的东关岛上，渤海五路以西，南环路以北.整个黄河楼颜色质感为灰红，意味黄河楼气势恢宏，更在气势上体现黄河的宏壮.如图，小张为了测量黄河楼的实际高度，选取了与楼底在同一水平面内的两个测量基点，现测得，在点处测得黄河楼顶的仰角为，求黄河楼的实际高度（结果精确到，取）. 5．要航测某座山的海拔高度，如图，飞机的航线与山顶M在同一个铅垂面内，已知飞机的飞行高度为海拔10000米，速度为900km/h，航测员先测得对山顶的俯角为，经过飞过M点后又测得对山顶的俯角为，    (1)求BM的长度；（结果带根号） (2)求山顶的海拔高度．（精确到m） （可能要用到的数据：） 6．“桃花春色暖先开，明媚谁人不看来”.春天来了，在研学的基地里，小明观察一棵桃树.如图所示，他在点处发现桃树顶端点的仰角大小为，往正前方走后，在点处发现桃树顶端点的仰角大小为.    (1)求的长； (2)若小明身高为，求这棵桃树顶端点离地面的高度（精确到，其中）. 7．在海岸A处，发现北偏西75°的方向，与A距离2海里的B处有一艘走私船，在A处北偏东45°方向，与A距离（）海里的C处的缉私船奉命以10海里/小时的速度追截走私船．此时，走私船正以10海里/小时的速度从B向北偏西30°方向