专题01 平面向量及其应用-2023-2024学年高一数学单元复习（知识梳理+热考题型+单元检测）（人教A版2019必修第二册）

专题01 平面向量及其应用（新高考人教A版专用） 目录 【知识梳理】 2 【热考题型】 10 【考点1】平面向量的概念 10 【考点2】平面向量的运算 11 【考点3】平面向量的数量积 13 【考点4】平面向量基本定理 14 【考点5】平面向量的坐标运算 16 【考点6】平面向量数量积坐标形式 18 【考点7】平面向量几何、物理中的应用 19 【考点8】余弦定理 20 【考点9】正弦定理 22 【考点10】余弦定理、正弦定理与三角函数综合 23 【单元检测】 25 【基础卷】 25 【能力卷】 29 知识梳理 一、向量与数量 (1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量. (2)数量：只有大小没有方向的量称为数量. 二、向量的几何表示 (1)具有方向的线段叫做有向线段.它包含三个要素：起点、方向、长度. (2)向量可以用有向线段来表示.向量的大小称为向量的长度(或称模)，记作||.向量也可以用字母a，b，c，…表示，或用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，例如：，. 三、向量的有关概念 向量名称 定义 零向量 长度为0的向量，记作0 单位向量 长度等于1个单位长度的向量 平行向量 (共线向量) 方向相同或相反的非零向量，向量a，b平行，记作a∥b，规定：零向量与任意向量平行 相等向量 长度相等且方向相同的向量；向量a，b相等，记作a＝b 四、向量加法的定义和三角形法则 (1)定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法. (2)对于零向量与任意向量a，规定a＋0＝0＋a＝a. (3)三角形法则 如图，已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作＝a，＝b，则向量叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝＋＝. 五、向量加法的平行四边形法则 如图，以同一点O为起点的两个已知向量a，b，以OA，OB为邻边作▱OACB，则以O为起点的向量(OC是▱OACB的对角线)就是向量a与b的和. 六、共线向量的加法与向量加法的运算律 (1)|a＋b|与|a|，|b|之间的关系 一般地，我们有|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当a，b方向相同时等号成立. (2)向量加法的运算律 ①交换律：a＋b＝b＋a. ②结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c). 七、向量的减法运算 (1)相反向量的定义：与向量a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作－a. (2)相反向量的性质 ①对于相反向量有：a＋(－a)＝0. ②若a，b互为相反向量，则a＝－b，b＝－a，a＋b＝0. ③零向量的相反向量仍是零向量. (3)向量减法的定义 向量a加上b的相反向量，叫做a与b的差，即a－b＝a＋(－b).求两个向量差的运算叫做向量的减法. 八、向量减法的几何意义 向量减法的几何意义 作法一：已知非零向量a，b，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a－b，如图所示.即a－b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量. 作法二：(相反向量法)在平面内任取一点O，作＝a，＝b，＝－b，连接AB.由向量减法的定义知a－b＝a＋(－b)＝＋＝.在四边形OCAB中，OB平行且等于CA，所以OCAB是平行四边形，所以＝＝a－b. 九、向量的数乘运算 (1)定义：一般地，我们规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，它的长度与方向规定如下： ①|λa|＝|λ||a|. ②当λ>0时，λa的方向与a的方向相同； 当λ<0时，λa的方向与a的方向相反； 当λ＝0时，λa＝0. (2)数乘运算的运算律 设λ，μ为实数，则有： ①λ(μa)＝(λμ)a； ②(λ＋μ)a＝λa＋μa； ③λ(a＋b)＝λa＋λb. 特别地，有(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)， λ(a－b)＝λa－λb. (3)向量的线性运算 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b. 十、向量共线定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa. 十一、两向量的夹角 (1)定义：已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作向量＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角. (2)显然，当θ＝0时，a与b同向；当θ＝π时，a与b反向. 如果a与b的夹角是，我们说a与b垂直，记作a⊥b. 十二、两个向量的数量积 (1)平面向量数量积的定义 已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cos θ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos__θ. 规定：零向量与任一向量的数量积为0. (2)向量数量积的性质 设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则 ①a·e＝e·a＝|